더블감마함수와 반스(Barnes) G-함수

수학노트
http://bomber0.myid.net/ (토론)님의 2010년 6월 26일 (토) 16:58 판
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개요
  • 더블 감마함수의 역수로 정의되는 함수
  • 성질
    \(G(1)=1\)
    \(G(s+1) =\Gamma(s)G(s)\)
  • 자연수 n에 대하여 다음이 성립한다
    \(G(n)=(n-1)!\times (n-2)! \times\cdots 2!\times 1!\)

 

 

근사식

\(\log G(z+1)=\frac{1}{12}~-~\log A~+~\frac{z}{2}\log 2\pi~+~\left(\frac{z^2}{2} -\frac{1}{12}\right)\log z~-~\frac{3z^2}{4}~+~ \sum_{k=1}^{N}\frac{B_{2k + 2}}{4k\left(k + 1\right)z^{2k}}~+~O\left(\frac{1}{z^{2N + 2}}\right)\)

여기서 A는 Glaisher–Kinkelin 상수 \(A= e^{\frac{1}{12}-\zeta^\prime(-1)}= 1.28242712\dots\)

 

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