등차수열의 소수분포에 관한 디리클레 정리

수학노트
http://bomber0.myid.net/ (토론)님의 2009년 9월 7일 (월) 16:32 판
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간단한 소개

(정리) 디리클레, 1837

자연수 a, b 가 서로 소이면 등차수열 {an+b} (n=0,1,2,…) 는 무한히 많은 소수를 포함한다

  • 4로 나눈 나머지가 1인 소수는 무한히 많다
  • 7로 나눈 나머지가 5인 소수는 무한히 많다
  •  h 와 k 가 서로 소일 때, h로 나눠서 k가 남는 소수는 무한히 많다.

 

 

증명의 재료
  • 푸리에 해석(군표현론) 과 L-function 의 아이디어를 결합시킴.

 

 

간략한 아이디어 소개

\(\sum_{p \text{:prime}} \frac{1}{p}=\infty\) 임은 이미 소수와 리만제타함수 를 통해 알고 있음.

  • 이 사실은 소수가 무한히 많음을 말해줌.
  • 이 아이디어와 군표현론의 아이디어를 결합.
  • 준동형사상 \(\chi \colon(\mathbb{Z}/4\mathbb{Z})^\times \to \mathbb C^{*}\) 는 두 가지 경우가 가능.

\(\chi_0(3)=1\) 인 경우

\(\chi_1(3)=-1\) 인 경우

 

  • 자연수 위에 정의된 함수 \(f\) 가 있어, 다음 두 조건을 만족시킨다고 하자.
    • \(f(n) = 1 \mbox{ if } n\equiv 3 \pmod{4} \)
    • \(f(n) = 0 \mbox{ if } n\equiv 0,1,2 \pmod{4}\)
  • \(f(n) ={\chi_0(n) - \chi_1(n) \over 2}\)  을 만족한다.
  •  
     \(\sum_{p \text{:prime } \equiv 3 \pmod 4} \frac{1}{p} = \sum_{p \text{:prime}} \frac{f(p)}{p}={1\over 2 }\sum_{p \text{:prime}} \frac{\chi_0(p) - \chi_1(p)}{p} \approx {1\over 2 }(\sum_{p \text{:prime}} \frac{\chi_0(p)}{p} - \sum_{p \text{:prime}} \frac{\chi_1(p)}{p}})\)
    • 우변의 첫번째 항은 \(1 \,+\, \frac{1}{3} \,+\, \frac{1}{5} \,+\, \frac{1}{7} \,+\, \frac{1}{9} \,+\, \cdots = \infty\) 에 의해 발산함을 안다.
    • 우변의 두번째 항은 \(1 \,-\, \frac{1}{3} \,+\, \frac{1}{5} \,-\, \frac{1}{7} \,+\, \frac{1}{9} \,-\, \cdots \;=\; \frac{\pi}{4}\)에 의해 수렴함을 안다. 이는 라이프니츠 급수,
    • 따라서 4로 나누어 나머지가 3이 되는 소수가 무한함을 알 수 있음
       
  • 마찬가지로 f를 적당히 바꿔준다면, 4로 나누어 1이 되는 소수가 무한함도 역시 같은 방법으로 보일 수 있음.

 

 

군표현론
  • \((\mathbb{Z}/n\mathbb{Z})^\times\)는 유한생성아벨군의 기본정리에 의하여, 순환군의 곱으로 분해할 수 있음.
  • 순환군의 표현론 참조

 

 

디리클레 L-함수
  • 리만제타함수의 일반화
  • 준동형사상 \(\chi \colon(\mathbb{Z}/n\mathbb{Z})^\times \to \mathbb C^{*}\) 에 대하여, 다음과 같이 정의함.
    \(L(\chi,s) = \sum_{n\geq 1}\frac{\chi(n)}{n^s}, s>1\)
  • 함수방정식
    \(\Lambda(s)=(\frac{\pi}{4})^{-{(s+1)}/{2}}\Gamma(\frac{s+1}{2})L(s)\)
    \(\Lambda(s)=\Lambda(1-s)\)

 

\(\sum_{n\geq 1}\frac{1}{n^s}= \left(1 + \frac{1}{2^s} + \frac{1}{4^s} + \cdots \right) \left(1 + \frac{1}{3^s} + \frac{1}{9^s} + \cdots \right) \cdots \left(1 + \frac{1}{p^s} + \frac{1}{p^{2s}} + \cdots \right) \cdots\)

\(\zeta(s) =\prod_{p \text{:prime}} \frac{1}{1-p^{-s}}\)

\(\log \zeta(s) = \log \prod_{p \text{:prime}} \frac{1}{1-p^{-s}} =\sum_{p \text{:prime}} -\log (1-p^{-s})\)

\(\log(1+x) \approx x\)

\(\log \zeta(s) = \sum_{p \text{:prime}} -\log (1-p^{-s})<br/>\approx \sum_{p \text{:prime}} \ p^{-s}=\sum_{p \text{:prime}} \frac{1}{p^s}\)

\(\sum_{p \text{:prime}} \frac{1}{p}=\infty\)

 

 

 

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