디리클레 단위 정리와 수체의 regulator
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개요
- 수체(number field)K의 대수적정수 \(\mathfrak{O}_K\) unit의 rank 에 대한 정리
- \([K : \mathbb{Q}] = r_1 + 2r_2\) 인 경우, \(\mathfrak{O}_K^{*}\)의 rank는 \(r_1+r_2-1\)이다
실 이차수체의 경우
- \([K : \mathbb{Q}] =2\), \(r_1=2, r_2=0\)이므로, \(\mathfrak{O}_K^{*}\)의 rank는 1이다
- \(\mathfrak{O}_K^{*}\)의 생성원 \(\epsilon_K\)을 fundamental unit
- 펠 방정식
- 이차 수체에 대한 디리클레 class number 공식
(정리) 디리클레 class number 공식
실 이차 수체(real quadratic field) \(K\)에 대하여, 다음 등식이 성립한다.
\( \lim_{s\to 1} (s-1)\zeta_K(s)=\frac{2 h_K \ln \epsilon_K}{\sqrt{d_K}}\)
\(h_K\) 는 class number, \(d_K\)는 \(K\)의 판별식(discriminant), \(\epsilon_K\)은 fundamental unit
higher regulator
- 데데킨트 제타함수
\([F : \mathbb{Q}] = r_1 + 2r_2\)
\(\zeta_{K}(2)\sim_{\mathbb{Q^{*}}} \sqrt{|d_{F}|}\pi^{2(r_1 + r_2)}\det\{D(\sigma_i(\xi_j))\}_{1\leq i,j\leq r_2}\)
여기서 \(\xi_i,(i=1,\cdots, r_2)\) 는 Bloch group \(B(F)\otimes \mathbb{Q}\)의 Q-basis
D는 Bloch-Wigner dilogarithm 함수
재미있는 사실
- Math Overflow http://mathoverflow.net/search?q=
- 네이버 지식인 http://kin.search.naver.com/search.naver?where=kin_qna&query=
역사
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- http://ko.wikipedia.org/wiki/
- http://en.wikipedia.org/wiki/Dirichlet's_unit_theorem
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- NIST Digital Library of Mathematical Functions
- The On-Line Encyclopedia of Integer Sequences
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