라플라스-벨트라미 연산자
http://bomber0.myid.net/ (토론)님의 2010년 1월 11일 (월) 22:40 판
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개요
제1기본형식을 이용한 표현
- \(E=g_{11}\), \(F=g_{12}=g_{21}\), \(G=g_{22}\)
- \((g^{ij})=(g_{ij})^{-1}\)
- 라플라시안
\(\Delta f=\nabla_i \nabla^i f =\frac{1}{\sqrt{\det g}} \frac{\partial }{\partial x^j}\left(g^{jk}\sqrt{\det g}\frac{\partial f}{\partial x^k}\right) = g^{jk}\frac{\partial^2 f}{\partial x^j \partial x^k} + \frac{\partial g^{jk}}{\partial x^j} \frac{\partial f}{\partial x^k} + \frac12 g^{jk}g^{il}\frac{\partial g_{il}}{\partial x^j}\frac{\partial f}{\partial x^k}\)
\(F=0\)인 경우
\(\Delta f=\frac{1}{\sqrt{EG}}\left( \frac{\partial }{\partial x^1}\left(\sqrt{\frac{G}{E}}\frac{\partial f}{\partial x^1}\right)+\frac{\partial }{\partial x^2}\left(\sqrt{\frac{E}{G}}\frac{\partial f}{\partial x^2}\right)\right)\)
표준좌표계의 경우
\(\Delta f = \frac{\partial^2f}{\partial x^2} + \frac{\partial^2 f}{\partial y^2}\)
극좌표계의 경우
- 극좌표계
- \(E=1\), \(G=0\), \(F=r^2\)
\(\sqrt{EG}=r\)
\(\Delta f = {1 \over r} {\partial \over \partial r} \left( r {\partial f \over \partial r} \right) + {1 \over r^2} {\partial^2 f \over \partial \theta^2}\)
재미있는 사실
- Math Overflow http://mathoverflow.net/search?q=
- 네이버 지식인 http://kin.search.naver.com/search.naver?where=kin_qna&query=
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사전 형태의 자료
- http://ko.wikipedia.org/wiki/
- http://en.wikipedia.org/wiki/Laplace_operator
- http://en.wikipedia.org/wiki/List_of_formulas_in_Riemannian_geometry
- http://en.wikipedia.org/wiki/Laplace_operators_in_differential_geometry
- http://en.wikipedia.org/wiki/
- http://mathworld.wolfram.com/Laplacian.html[1]
- NIST Digital Library of Mathematical Functions
- The On-Line Encyclopedia of Integer Sequences
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