라플라스-벨트라미 연산자

수학노트
http://bomber0.myid.net/ (토론)님의 2012년 1월 15일 (일) 11:45 판
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개요
  •  

 

 

제1기본형식을 이용한 표현
  • 리만다양체의 메트릭이 \(g_{ij}\)로 주어지는 경우
  • \((g^{ij})=(g_{ij})^{-1}\)
  • 라플라시안
    \(\Delta f=\nabla_i \nabla^i f =\frac{1}{\sqrt{\det g}} \frac{\partial }{\partial x^j}\left(g^{jk}\sqrt{\det g}\frac{\partial f}{\partial x^k}\right) = g^{jk}\frac{\partial^2 f}{\partial x^j \partial x^k} + \frac{\partial g^{jk}}{\partial x^j} \frac{\partial f}{\partial x^k} + \frac12 g^{jk}g^{il}\frac{\partial g_{il}}{\partial x^j}\frac{\partial f}{\partial x^k}\)
  • 곡면의 경우 \(E=g_{11}\), \(F=g_{12}=g_{21}\), \(G=g_{22}\)
  • \(F=0\)인 경우
    \(\Delta f=\frac{1}{\sqrt{EG}}\left( \frac{\partial }{\partial x^1}\left(\sqrt{\frac{G}{E}}\frac{\partial f}{\partial x^1}\right)+\frac{\partial }{\partial x^2}\left(\sqrt{\frac{E}{G}}\frac{\partial f}{\partial x^2}\right)\right)\)

 

 

표준좌표계의 경우

\(\Delta f = \frac{\partial^2f}{\partial x^2} + \frac{\partial^2 f}{\partial y^2}\)

 

 

극좌표계의 경우
  • 극좌표계
  • \(E=1\), \(G=0\), \(F=r^2\)
    \(\sqrt{EG}=r\)
    \(\Delta f = {1 \over r} {\partial \over \partial r} \left( r {\partial f \over \partial r} \right) + {1 \over r^2} {\partial^2 f \over \partial \theta^2}={1 \over r} {\partial f \over \partial r}+ {\partial^2 f \over \partial r^2}+{1 \over r^2} {\partial^2 f \over \partial \theta^2}\)

 

 

구면 라플라시안
  • 구면(sphere)
    \(\Delta f ={1 \over r^2 }({\partial^2 f \over \partial \theta^2} +\cot\theta {\partial f \over \partial \theta} + \frac{1}{ \sin^2 \theta}{\partial^2 f \over \partial \phi^2})\)

 

 

3차원 구면좌표계의 경우
  • 구면좌표계
    \(\Delta f = {1 \over r^2} {\partial \over \partial r} \left( r^2 {\partial f \over \partial r} \right) + {1 \over r^2 \sin \theta} {\partial \over \partial \theta} \left( \sin \theta {\partial f \over \partial \theta} \right) + {1 \over r^2 \sin^2 \theta} {\partial^2 f \over \partial \phi^2}\)

 

 

원기둥좌표계의 경우

 

 

역사

 

 

 

메모

 

 

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