락스 쌍 (Lax pair)

수학노트
http://bomber0.myid.net/ (토론)님의 2012년 6월 20일 (수) 03:32 판
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개요
  • 해밀턴 역학에서 보존량을 얻기 위해 유용한 방법
  • spectral parameter

 

 

기호
  • 위치 변수 \(q=(q_1,\cdots,q_N)\)
  • 운동량 변수 \(p=(p_1,\cdots,p_N)\)
  • \(\{q_i,p_i\}=\delta_{ij}\)
  • 해밀토니안 \(H(q,p)\)
  • 운동방정식
    \(\dot{q}_i=\{q_i,H\}=\partial H/\partial p_i\)
    \(\dot{p}_i=\{q_i,H\}-\partial H/\partial q_i\)

 

 

락스 쌍
  • 많은 적분가능 모형에 락스 쌍 formalism 을 적용할 수 있다
  • 변수 q,p에 의존하는 두 \(N\times N\) 행렬 \(L(q,p) \) 와 \(M(q,p)\)이 락스 방정식 \(\dot{L}=\{L,M\}\) 을 만족시키면 이를 락스 쌍이라 한다
  • 해밀토니안에 의한 운동방정식과 같다
    \(\dot{q}_i=\{q_i,H\}=\partial H/\partial p_i\)
    \(\dot{p}_i=\{q_i,H\}-\partial H/\partial q_i\)
  • 많은 보존량을  \(\operatorname{tr}(L^p)\) 의 형태로 얻을 수 있다
    \(\frac{d}{dt}\operatorname{tr}(L^p)=\operatorname{tr}(p [L,M]L^{p-1})=p\operatorname{tr}(LML^{p-1}-ML^{p})=0\)
    따라서 \(\operatorname{tr}(L^p)\) 는 보존량이 된다

 

 

 

Lax pairs with spectral parameters
  • spectral curve
    \(\{(k,z)\in\mathbb{C}\times\mathbb{C}:\det(kI-L(z))=0\}\)
  • 대수 곡선이 된다
  • 각 점 \((k,z)\) 에 대한 벡터공간 \(\operatorname{ker}(kI-L(z))=0\) 을 통해여, 곡선에 대한 line bundle을 얻는다
  • for examples, look at Introduction to classical integrable systems, chapter 3 [1]http://goo.gl/LaawC
  • integrals of motion
    \(\operatorname{tr} L(z)=\sum_{n}L_{n}z^{n} \)
     

 

 

isospectral deformation
  • L is an isospectral deformation of L(0) if  L(t) has the same eigenvalues for all t
  • \(L(t)v(t)=\lambda v(t)\)
  • Record their derivative by a matrix
     
  • Differentiate \(L(t)v(t)=\lambda v(t)\)
    L'(t)v(t)+L(t)v'(t)=\lambda v'(t)
    L'(t)v'(t)=[B(t),L(t)]v(t)
    L'(t)=[B[t],L(t)
  • So B(t) and L(t) are a Lax pair

 

 

 

examples : KdV equation

 

 

  • \(u_t=\frac{1}{4}u_{xxx}+\frac{3}{2}uu_x\)
  • Sturm-Liouville operator
    • \(L=\partial^2+u\)
    • \(B=\partial_{x}^3+\frac{3}{2}u\partial_{x}+\frac{3}{4}u_{x}\)
  • equation
    \(u_{t}=[B,L]=\frac{1}{4}u_{xxx}+\frac{3}{2}uu_x\)

 

 

 

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