리치 격자(Leech lattice)

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• 리치 격자(Leech lattice)

 

 

개요

• 24차원의 even unimodular lattice 의 하나로 root를 가지지 않는 유일한 격자
• 24차원의 Kissing number and sphere packings 에서 중요한 역할

 

 

구성

• \(\tilde{G}\) 를 [24,12,8] 골레이 코드 (Golay code)  라 하자.

quotient map \(\rho : \mathbb{Z}^{24}\to \mathbb{F}_{2}^{24}\) 으로부터

\(\Gamma=\frac{1}{\sqrt{2}}\rho^{-1}(\tilde{G})\)  even unimodular lattice 를 얻는다.

homomorphism \(\alpha : \Gamma \to \mathbb{F}_{2}\) 를 \(\alpha(x)=\frac{1}{2}\sum_{i=1}^{24} x_i \pmod 2\) 로 정의하자.

\(A=\alpha^{-1}(0)\) , \(N=\alpha^{-1}(1)\)  로 두면 \(\Gamma=A\cup N\)이다.

리치격자는

\(\Lambda_{24}=\frac{1}{\sqrt{2}}\left(A\cup (\frac{\mathbf{1}}{2}+N)\right)\)

로 쓸 수 있다.

 

norm 4 벡터

• 196560개의 norm 4벡터를 세 가지 타입으로 나눌 수 있다.
• \((\pm1)^8 0^{16}\)   97152개
• \((\pm2)^2 0^{22}\) 1104개
• \((\pm\frac{1}{2})^{23} (\pm \frac{3}{2})^{1}\) 98304개

 

 

세타함수

• 아이젠슈타인 급수(Eisenstein series)
• 판별식 (discriminant) 함수
• \(\theta_{\Lambda_{24}}=E_{4}^3-720\Delta=1+196560 q^2+16773120 q^3+398034000 q^4+4629381120 q^5+\cdots\)

 

 

역사

 

• http://www.google.com/search?hl=en&tbs=tl:1&q=
• 수학사연표

 

 

메모

• \(\Lambda_{24}=\frac{1}{\sqrt{2}}\left(A\cup (\frac{\mathbf{1}}{2}+N)\right)\)
  
• http://www.maths.qmul.ac.uk/~raw/talks_files/Leech.pdf
• http://www.math.lsa.umich.edu/~rlg/mathclubtalklattices21oct10d.pdf
• Math Overflow http://mathoverflow.net/search?q=

 

 

관련된 항목들

• Kissing number and sphere packings

 

 

수학용어번역

• 단어사전
  
  • http://translate.google.com/#en%7Cko%7C
  • http://ko.wiktionary.org/wiki/
• 발음사전 http://www.forvo.com/search/
• 대한수학회 수학 학술 용어집
  
  • http://mathnet.kaist.ac.kr/mathnet/math_list.php?mode=list&ftype=eng_term&fstr=
• 한국통계학회 통계학 용어 온라인 대조표
• 남·북한수학용어비교
• 대한수학회 수학용어한글화 게시판

 

 

매스매티카 파일 및 계산 리소스

•  
• http://www.wolframalpha.com/input/?i=leech+lattice
• The On-Line Encyclopedia of Integer Sequences
  
  • http://oeis.org/A008408
• 매스매티카 파일 목록

 

 

사전 형태의 자료

• http://ko.wikipedia.org/wiki/
• http://en.wikipedia.org/wiki/Leech_lattice
• http://en.wikipedia.org/wiki/II25,1
  
• http://en.wikipedia.org/wiki/
• The Online Encyclopaedia of Mathematics
• NIST Digital Library of Mathematical Functions
• The World of Mathematical Equations

 

 

 

 

 

관련논문

• http://www.jstor.org/action/doBasicSearch?Query=
• http://www.ams.org/mathscinet
• http://dx.doi.org/

 

 

관련도서

• 도서내검색
  
  • http://books.google.com/books?q=
  • http://book.daum.net/search/contentSearch.do?query=