모든 자연수의 합과 리만제타함수
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개요
- 리만제타함수 함수의 -1에서의 값
\(\zeta(-1)= -\frac{1}{12}\)
- 다음과 같은 (물리적?) 해석이 가능
\(\sum_{n=1}^{\infty} n =1 + 2 + 3 + 4 + 5 + \cdots = -\frac{1}{12}\)
증명
리만 제타함수가 만족시키는 다음 함수방정식을 이용한다.
\(\pi^{-s/2}\ \Gamma\left(\frac{s}{2}\right)\ \zeta(s)=\pi^{-(1-s)/2}\ \Gamma\left(\frac{1-s}{2}\right)\ \zeta(1-s)\)
\(\zeta(s)=2(2\pi)^{s-1}\Gamma(1-s)\sin(\frac{\pi s}{2})\zeta(1-s)\)
여기에 \(s=-1\) 을 대입하면, 다음을 얻는다.
\(\zeta(-1)=2(2\pi)^{-2}\Gamma(2)\sin(-\frac{\pi}{2})\zeta(2)=\frac{2}{4\pi^2}(-1)\frac{\pi^2}{6}=-\frac{1}{12}\). ■
물리학적(?) 증명
보조정리
\(1-2+3 -4 +5-6+\cdots = \frac{1}{4}\)
(증명)
테일러정리에 의하면,
\(x-2 x^2+3 x^3-4 x^4+\cdots = \frac{x}{(1+x)^2}\)
본래는 양변에 x=1을 넣는 것이 금지되어 있으나, 위에서 물리학이라고 했으므로 괜찮음.
그러므로,
\(S=1+2+3+4+\cdots\)
\(2S=2+4+6+8+\cdots\)
\(4S=2(2+4+6+8+\cdots)\)
그러므로,
\(1-2+3-4+5-6+\cdots+4S=1+2+3+4+5+6+\cdots = S\)
따라서,
\(-3S=1-2+3-4+5-6+\cdots\)
\(\sum_{n=1}^{\infty}n=1+2+3+4+\cdots = \frac{-1}{12}\)
조금만 수정하면, 제대로 된 증명이 되도록 할 수 있음.
관련된 항목들
사전 형태의 자료
- http://ko.wikipedia.org/wiki/
- http://en.wikipedia.org/wiki/1_%2B_2_%2B_3_%2B_4_%2B_%C2%B7_%C2%B7_%C2%B7
- The Online Encyclopaedia of Mathematics
- NIST Digital Library of Mathematical Functions
- The World of Mathematical Equations
매스매티카 파일 및 계산 리소스
- https://docs.google.com/file/d/0B8XXo8Tve1cxSEdnNm9Ddy1seUk/edit?pli=1
- http://www.wolframalpha.com/input/?i=
- http://functions.wolfram.com/
- NIST Digital Library of Mathematical Functions
- Abramowitz and Stegun Handbook of mathematical functions
- The On-Line Encyclopedia of Integer Sequences
- Numbers, constants and computation
- 매스매티카 파일 목록
리뷰논문, 에세이, 강의노트
블로그
- Zeta-function regularization The Reference Frame, 2007-9-18
테일러정리에 의하면,
그러므로,