물체의 낙하와 무한등비급수

농구공을 떨어뜨렸을 때, 공이 멈출 때까지 시간은 얼마나 걸릴까?

공의 크기를 무시하고, 공기의 저항을 무시할 수 있는 이상적인 경우,

이 시간은 수렴하는 무한등비급수의 형태로 나타난다

[/pages/3786609/attachments/1886671 178px-Falling_ball.jpg]

아래의 사고 실험을 해보자

(지구에서)h 미터 높이에서 탄성계수가 e인 바닥에 공을 떨어뜨린다.(자유낙하)

그러면 이 공은 가속도가 g인 등가속도 운동을 할 것이다.

따라서 이 물체가 바닥에 도착했을 때의 속도\(v_0\)와 시간 \(t_0\)는 역학적 에너지 보존의 법칙에 의하여,

\(mgh=\frac{mv_0^2}{2} \\ \therefore v_0 = \sqrt{2gh}\)

\(v_0=gt_0& \therefore t_0= \sqrt{\frac {2h}{g}}\)

탄성계수가 e인 바닥에 공이 v의 속도로 부딛혀서 튕겨 나오면, 튕겨져 나오는 속도 v'은

\(e=-\frac{0-v'}{0-v} \\ v'=-ev\) 즉 크기만 따진다면 속도가 e배 된다.

다시말해, 처음 충돌한 뒤의 속도의 크기를 \(v_1\)이라 하고, n번째 충돌 후 속도의 크기를 \(v_n\)이라 한다면,

수열 \(\{v_n\}\)은 공비가 e이고 초항이 \(v_1\)인 등비수열이 된다. \(v_n\)은 \(v_n=ev_{n-1}\)

지면에서 연직방향으로 v의 속력으로 운동하는 공이 낙하할 때

목차