베일리 쌍(Bailey pair)과 베일리 보조정리

수학노트
http://bomber0.myid.net/ (토론)님의 2011년 11월 12일 (토) 05:38 판
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개요

 

 

 

베일리 쌍(Bailey pair)
  • 다음을 만족시키는 두 수열\(\{\alpha_r\}, \{\beta_r\}\)을 a에 대한 베일리 쌍이라 부른다
    \(\beta_L=\sum_{r=0}^{L}\frac{\alpha_r}{(q)_{L-r}(aq)_{L+r}}\)
  • 켤레 베일리 쌍  \(\{\delta_r\}, \{\gamma_r\}\)
    \(\gamma_L=\sum_{r=L}^{\infty}\frac{\delta_r}{(q)_{r-L}(aq)_{r+L}}=\sum_{r=0}^{\infty}\frac{\delta_{r+L}}{(q)_{r}(aq)_{r+2L}}\)
  • 베일리 쌍을 얻기 위해 합공식의 q-analogue 들의 특별한 경우들을 많이 이용함

 

 

 

왜 베일리 쌍을 공부하나?
  • 베일리 쌍을 이용하여 로저스-라마누잔 항등식 과 같은 q-series 항등식을 증명할 수 있음
    • 베일리 보조정리를 이용하는 경우
    • 베일리 쌍의 정의로부터
      \(\beta_L=\sum_{r=0}^{L}\frac{\alpha_r}{(q)_{L-r}(aq)_{L+r}}\)

 

 

베일리 보조 정리
  • 베일릴 보조 정리는 베일리 쌍과 켤레 베일리 쌍에 대한 항등식이다
  • 네 수열\(\{\alpha_r\}, \{\beta_r\}\), \(\{\delta_r\}, \{\gamma_r\}\) 이
    \(\beta_L=\sum_{r=0}^{L}{\alpha_r}{u_{L-r}v_{L+r}}\),  \(\gamma_L=\sum_{r=L}^{\infty}{\delta_r}{u_{r-L}v_{r+L}}\)
    이 조건을 만족시키면 다음이 성립한다
    \(\sum_{n=0}^{\infty}\alpha_n\gamma_{n}=\sum_{n=0}^{\infty}\beta_n\delta_{n}\)
  • 다음과 같이 u,v 를 선택한다
    \(u_{n}=\frac{1}{(q)_n}\) ,\(v_{n}=\frac{1}{(x)_n}\), 여기서 \(x=aq\)

 

 

 

베일리 쌍의 예
  • 다음과 같은 켤레 베일리 쌍 (relative to a)을 찾을 수 있다
    \(\delta_n=\frac{(y)_n(z)_n x^n}{y^n z^n}\)
     \(\gamma_n=\frac{(x/y;q)_{\infty}(x/z;q)_{\infty}}{(x;q)_{\infty}(x/yz;q)_{\infty}}}\frac{(y)_n(z)_n x^n}{(x/y)_{n}(x/z)_{n}y^n z^n}\)

 

 

 

 

역사

 

 

 

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