복소 이차 수체의 데데킨트 제타함수 special values

\(s=1\) 에서의 값

• 이차 수체에 대한 디리클레 class number 공식
  
• 복소이차수체의 경우
  \(K=\mathbb{Q}(\sqrt{-q})\), \(q \geq 7\) , \(q \equiv 3 \pmod{4}\) 인 경우
  \(d_K=-q\)
  \(\chi(a)=\left(\frac{a}{q}\right)\)
  \(\chi(-1)=-1\), \(\tau(\chi)=i\sqrt{q}\)
  \(L(1,\chi)= \frac{- \pi\sqrt{q}}{q^2}\sum_{a=1}^{q-1}\left(\frac{a}{q}\right) a=\frac{\pi h_K}{\sqrt{q}}\)
  \(h_K=-\sum_{a=1}^{q-1}\left(\frac{a}{q}\right)\frac{a}{q}\)
   
  \(K=\mathbb{Q}(\sqrt{-q})\)  , \(q \geq 5\) ,  \(q \equiv 1 \pmod{4}\) 인 경우
  \(d_K=-4q\)
  \(\chi(-1)=-1\), \(\tau(\chi)=2i\sqrt{q}\)
  \(L(1,\chi)= -\frac{ \pi\sqrt{q}}{8q^2}{\sum_{(a,4q)=1}\chi(a) a=\frac{\pi h_K}{2\sqrt{q}}\)
  \(h_K=-\frac{1}{4}\sum_{(a,4q)=1}\left(\frac{a}{q}\right)\frac{a}{q}\)
  

 

\(s=2\) 에서의 값

• 복소이차수체의 경우
  \(\zeta_{K}(2)=\frac{\pi^2}{6\sqrt{|d_K|}}\sum_{(a,d_k)=1} (\frac{d_K}{a})D(e^{2\pi ia/|d_k|})\)
  \(\zeta_{\mathbb{Q}\sqrt{-7}}(2)=\frac{\pi^2}{3\sqrt{7}}(D(e^{2\pi i/7})+D(e^{4\pi i/7})-D(e^{6\pi i/7}))\)
  여기서 \(D(z)\)는 Bloch-Wigner dilogarithm
  

 

 

 

• \(s=1\) 에서의 \(L_{d_K}'(1)\)의 값
  
  • L-함수의 미분
    \(L_{d_K}'(1)=\frac{2\pi h_K(\gamma+\ln 2\pi)}{w_K \cdot \sqrt{|d_K|}}-\frac{\pi}{\sqrt{|d_K|}}\sum_{(a,d_K)=1}\chi(a)\log\Gamma (\frac{a}{|d_K|})\)