블라쉬케 곱 (Blaschke product)

수학노트
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개요

  • 다음과 같은 꼴의 뫼비우스 변환들은 단위원을 단위원으로 보내는 전단사 해석함수이다
    \(B(a,z)=\frac{|a|}{a}\frac{z-a}{1-\bar{a}z}\)
  • Blaschke product는 이러한 꼴의 함수들의 유한 또는 무한곱으로 쓰여짐.
    \(B(z)=\prod_n B(a_n,z)\)
  • 단위원에서 정의된 함수로 주어진 점에서 zero 를 갖는 해석함수를 만들기 위해 사용됨




타원과 3차 블라쉬케 곱

  • 다음과 같은 3차의 블라쉬케 곱을 생각하자
    \(B(z)=z\frac{z-a}{1-\bar{a}z}\frac{z-b}{1-\bar{b}z}\)
  • 단위원 위의 점 \(\lambda\) 에 대하여, \(B(z)=\lambda\) 의 세 해를 \(z_ 1,z_ 2,z_ 3\) 로 두면, 세 직선 \(\overline{z_ 1z_ 2},\overline{z_ 2 z_ 3},\overline{z_ 1 z_ 3}\) 은 다음 타원에 접한다
    \(|w-a|+|w-b|=|1-\bar{a}b|\)
  • \(a=0.5,b=-0.4+0.4 i\) 로 두고, 다양한 \(\lambda\) 에 대하여 위의 결과를 적용하여 얻은 그림

블라쉬케 곱(Blaschke product)1.gif

  • [DPR2002] 참조




역사



메모



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리뷰논문, 에세이, 강의노트

관련논문

  • [DPR2002]Daepp, Ulrich, Pamela Gorkin, and Raymond Mortini. 2002. \[OpenCurlyDoubleQuote]Ellipses and Finite Blaschke Products.\[CloseCurlyDoubleQuote] The American Mathematical Monthly 109 (9) (November 1): 785\[Dash]795. doi:10.2307/3072367.
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