블로흐-비그너 다이로그(Bloch-Wigner dilogarithm)

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• Bloch-Wigner dilogarithm
  

 

 

개요

• Dilogarithm
  \(\operatorname{Li}_2(z) = -\int_0^z{{\ln (1-t)}\over t} dt \) for \(z\in \mathbb C-[1,\infty)\)
  
• Bloch-Wigner dilogarithm
  \(D(z)=\text{Im}(\operatorname{Li}_2(z))+\log|z|\arg(1-z)\)
  
• 로바체프스키와 클라우센 함수 항목 참조
  
• real analytic on \(\mathbb{C}\) except at the two point 0 and 1. 
  

 

 

그래프와 등고선

• 복소평면에서 정의된 실수값을 갖는 연속함수
  [1]
  
• 다음과 같은 등고선을 얻는다
  [2]
  

 

 

 

항등식

\(D(z)=D(1-\frac{1}{z})=D(\frac{1}{1-z})=-D(\frac{1}{z})=-D(1-z)=-D(\frac{z}{z-1})\)

• Dilogarithm 함수가 만족시키는 공식을 깔끔하게 함
  \(\mbox{Li}_2(x)\),\(\mbox{Li}_2 \left(\frac{1}{1-x}\right)\),  \(\mbox{Li}_2 \left(1- \frac{1}{x} \right)\), \(-\mbox{Li}_2 \left( \frac{1}{x} \right)\),\(-\mbox{Li}_2 \left(1-x \right)\) , \(-\mbox{Li}_2 \left( \frac{x}{x-1} \right)\)
  

 

 

five-term relation

\(D(x)+D(y)+D\left( \frac{1-x}{1-xy} \right)+D(1-xy)+D\left( \frac{1-y}{1-xy} \right)=0\)

• Dilogarithm 함수의 경우

\(\mbox{Li}_2(x)+\mbox{Li}_2(y)+\mbox{Li}_2 \left( \frac{1-x}{1-xy} \right)+\mbox{Li}_2(1-xy)+\mbox{Li}_2 \left( \frac{1-y}{1-xy} \right)=\frac{\pi^2}{2}-\log(x)\log(1-x)-\log(y)\log(1-y)+\log (\frac{1-x}{1-xy})\log (\frac{1-y}{1-xy})\)

 

 

데데킨트 제타함수와의 관계

• \(s=2\) 에서의 값
  복소이차수체의 데데킨트 제타함수
  \(\zeta_{K}(2)=\frac{\pi^2}{6\sqrt{|d_K|}}\sum_{(a,d_k)=1} (\frac{d_K}{a})D(e^{2\pi ia/|d_k|})\)
  \(\zeta_{\mathbb{Q}\sqrt{-7}}(2)=\frac{\pi^2}{3\sqrt{7}}(D(e^{2\pi i/7})+D(e^{4\pi i/7})-D(e^{6\pi i/7}))\)
  

 

 

역사

• 수학사연표

 

 

 

 

관련된 항목들

• 로바체프스키와 클라우센 함수
  
• L-함수의 값 구하기 입문
  
• 데데킨트 제타함수
  

 

 

수학용어번역

• 단어사전
  
  • http://www.google.com/dictionary?langpair=en%7Cko&q=
  • http://ko.wiktionary.org/wiki/
• 발음사전 http://www.forvo.com/search/bloch
• 대한수학회 수학 학술 용어집
  
  • http://mathnet.kaist.ac.kr/mathnet/math_list.php?mode=list&ftype=eng_term&fstr=
• 남·북한수학용어비교
• 대한수학회 수학용어한글화 게시판

 

 

 

매스매티카 파일 및 계산 리소스

• https://docs.google.com/file/d/0B8XXo8Tve1cxS0U2bjRwSGtqV2M/edit
• http://www.wolframalpha.com/input/?i=
• http://functions.wolfram.com/
• NIST Digital Library of Mathematical Functions
• Abramowitz and Stegun Handbook of mathematical functions
• The On-Line Encyclopedia of Integer Sequences
• Numbers, constants and computation
• 매스매티카 파일 목록

 

 

사전 형태의 자료

• http://ko.wikipedia.org/wiki/
• http://en.wikipedia.org/wiki/
• http://www.wolframalpha.com/input/?i=
• NIST Digital Library of Mathematical Functions
• The On-Line Encyclopedia of Integer Sequences
  
  • http://www.research.att.com/~njas/sequences/?q=

 

 

관련논문

• The Bloch-Wigner-Ramakrishnan polylogarithm function, Don Zagier, Math-Annalen, pages 612–624, 1990. http://dx.doi.org/10.1007/BF01453591
• Polylogarithms, Dedekind Zeta functions, and the algebraic K-theory of fields

• http://www.jstor.org/action/doBasicSearch?Query=
• http://dx.doi.org/10.1007/BF01453591