사각 피라미드 퍼즐

간단한 소개

• 공을 다음 그림처럼 피라미드 모양으로 쌓는다고 하면, 피라미드가 몇 층이 될 때, 공의 개수가 완전제곱수가 되는가?

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• 수식으로 표현하면 다음과 같은 디오판투스 방정식이 얻어짐.
  \(1^2+\cdots+ n^2 =\frac{n(n+1)(2n+1)}{6}=m^2\)
  
• 답은 두 쌍이 존재.
  (n,m)=(1,1) or (24,70)
  
• Lucas problem 또는 Canonball problem 이라는 이름으로 불리기도 함.
• 타원곡선의 정수해 문제로 이해할 수 있음.
  \(y^2=\frac{x(x+1)(2x+1)}{6}\)
  

 

정수계수 타원곡선으로의 변형

\(x=\frac{x_1-6}{12}\)

를 써서 로 변환을 합니다.

그 다음은 항을 없애줍니다.

를 써서.

정수 계수를 가지는 게 멋있으니까,

를 써서 …

결국 를 써서, 식을 좀 예쁘게(?) 바꿨네요. x,y가 정수라면, 도 정수해가 되니, 새로운 타원곡선의 정수해를 일단 다 찾으면 되겠습니다 휴우-

 

 

관련된 학부 과목과 미리 알고 있으면 좋은 것들

• 04 부분합과 급수
• 초등정수론

 

 

 

관련된 항목들

• 타원곡선
• Number 12 and 24

 

 

 

•  

 

관련논문

• The Square Pyramid Puzzle
  
  • W. S. Anglin, The American Mathematical Monthly, Vol. 97, No. 2 (Feb., 1990), pp. 120-124
• Lucas' Square Pyramid Problem Revisited
  
  • Michael A. Bennett, Acta Arithmetica Vol.105 NO.4 / 2002 

 

블로그

• 사각 피라미드 퍼즐(1)
  
  • Secret Math Blog, 2009-1
• The Square Pyramid Puzzle
  
  • Wir müssen wissen, Wir werden wissen, 2009-1-8