사각 피라미드 퍼즐

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수식으로 표현하면 다음과 같은 디오판투스 방정식이 얻어짐.
\(1^2+\cdots+ n^2 =\frac{n(n+1)(2n+1)}{6}=m^2\)
답은 두 쌍이 존재.
(n,m)=(1,1) or (24,70)
Lucas problem 또는 Canonball problem 이라는 이름으로 불리기도 함.
타원곡선의 정수해 문제로 이해할 수 있음.
\(y^2=\frac{x(x+1)(2x+1)}{6}\)

서로소인 3 개의 수의 곱이 완전 제곱수라면 그 3 개의 수가 각각 완전제곱수 임을 이용하자.
x ≡ 2 (mod 6) 인 경우 (3t+1)(2t+1)(12t+5) = y²

x ≡ -2 (mod 6) 인 경우 (3t-1)(6t-1)(4t-1) = y²

x ≡ 3 (mod 6)인 경우 (2t+1)(3t+2)(12t+7) = y²

x ≡ -1 (mod 6)인 경우 (6t+5)(t+1)(12t+11) = y²

완전제곱 ≡ -1 (mod 4) 을 이용하여 모순임을 쉽게 보일 수 있다.
이제 x ≡ 0, 1 (mod 6) 일 때 에만 보이면 된다.
t(6t+1)(12t+1) = y². 이 때 편의상 6t + 1 = p², 12t + 1 = q² 이다.

우리는 p 가 7 이상이면 아래의 식이 성립함을 알 수 있다.

([√2 p])² < 2p² - 1

또한, [X] > X - 1 임을 이용하면
2p² -1< ([√2 p] + 1)² 이다.

따라서, p 가 7 이상이 되면 두 연속한 제곱수 사이에 다른 제곱수가 존재하므로 모순..

따라서 p 는 6 이하가 된다.

이 때 대입해 보면 t 가 4 일 때, 해 (x,y) = (24, 70) 이 나오게 된다.
x ≡ 1 (mod 6) 이면 (6t+1)(3t+1)(4t+1) = y²

3t + 1= p², 6t+1 = q² 이라 하면 q² = 2p² - 1 이 되는 아까와 동일한 상황이 되어 해보면 (1,1) 이 나온다.

따라서, 답은 (1,1) 과 (24, 70)

\(x=\frac{x_1-6}{12}\), \(y=\frac{y_1}{72}\)

를 사용하면,

\(y_1^2=x_1^3-36x_1\) 를 얻는다.

\(y^2=\frac{x(x+1)(2x+1)}{6}\) 의 정수해는 \(y_1^2=x_1^3-36x_1\)의 정수해를 주게 되므로, \(y_1^2=x_1^3-36x_1\)의 정수해를 찾으면 된다(?)

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