세르 관계식 (Serre relations)

수학노트
http://bomber0.myid.net/ (토론)님의 2012년 7월 19일 (목) 17:19 판
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개요
  • simple 리대수의 특별한 생성원이 만족시키는 관계식
  • 카르탄 행렬이 주어질 때, 리대수를 생성원과 관계식으로 얻을 수 있다
  • 캐츠-무디 대수로 확장된다

 

 

세르 관계식
  • l : 리대수 \(\mathfrak{g}\)의 rank 
  • \((a_{ij})\) : 카르탄 행렬
  • 생성원 \(e_i,h_i,f_i , (i=1,2,\cdots, l)\)
  • 세르 관계식
    • \(\left[h_i,h_j\right]=0\)
    • \(\left[e_i,f_j\right]=\delta _{i,j}h_i\)
    • \(\left[h_i,e_j\right]=a_{i,j}e_j\)
    • \(\left[h_i,f_j\right]=-a_{i,j}f_j\)
    • \(\left(\text{ad} e_i\right){}^{1-a_{i,j}}\left(e_j\right)=0\) (\(i\neq j\))
    • \(\left(\text{ad} f_i\right){}^{1-a_{i,j}}\left(f_j\right)=0\) (\(i\neq j\))
  • ad 는 adjoint 의 약자
    • \(\left(\text{ad} x\right){}^{3}\left(y\right)=[x, [x, [x, y]]]\)
    • \(\left(\text{ad} x\right){}^{4}\left(y\right)=[x, [x, [x, [x, y]]]]\)

 

 

sl(3)의 예
  • 카르탄 행렬
    \(\left( \begin{array}{cc} 2 & -1 \\ -1 & 2 \end{array} \right)\)
  • \(i\neq j\) 일 때
    \(\left(\text{ad} e_i\right){}^{2}\left(e_j\right)=[e_i, [e_i,e_j]]=0\)
    \(\left(\text{ad} f_i\right){}^{2}\left(f_j\right)=[f_i, [f_i,f_j]]=0\)

 

 

 

UEA 에서의 관계식
  • 카르탄행렬이 \((a_{ij})\) 로 주어지는 리대수 \(\mathfrak{g}\)의 UEA \(U(\mathfrak{g})\) 에서 다음의 두 식
    \(\left(\text{ad} e_i\right){}^{1-a_{i,j}}\left(e_j\right)=0\) (\(i\neq j\)), \(\left(\text{ad} f_i\right){}^{1-a_{i,j}}\left(f_j\right)=0\) (\(i\neq j\))
  • 다음과 같이 표현할 수 있다
    \(\sum_{k=0}^{1-a_{i,j}}(-1)^k \binom{1-a_{i,j}}{k}e_{i}^{1-a_{i,j}-k}e_{j}e_{i}^k=0\)
  • 풀어 씀

 

역사

 

 

 

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