순환군

수학노트
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개요

  • 하나의 원소로 생성될 수 있는 군을 순환군(cyclic group)이라 함. 즉 모든 원소가 한 원소의 적당한 정수제곱으로 표현가능한 경우를 말함.
    • \((\mathbb Z,+)\) 의 경우는 1로 모든 원소를 생성가능하므로, 순환군임.
    • 2차원 평면의 정n각형에 대한 n개의 회전변환은 순환군임.
    • \(z^n=1\) 를 만족시키는 n개의 복소수들은 곱셈에 대하여 순환군이 됨
      • \(\zeta=e^{2\pi i \over n\) 으로 생성가능.
    • \((\mathbb{Z}/n\mathbb{Z},+)\) 는 순환군임
    • \((\mathbb{Z}/n\mathbb{Z})^\times\) 가 순환군이 되는 경우는 원시근(primitive root) 항목을 참조

 

 

 

순환군의 부분군

(정리) 순환군의 모든 부분군은 순환군이다.

 

(증명)

H 가 G의 부분군이라고 하자.  a는 G의 생성원이라고 하자.

G의 원소는 \(\cdots, a^{-1},a^{-1},a^{0}, a^1,a^2,\cdots\)

따라서 각각의 원소에 이 지수를 정의할 수 있다. (\(\log_a g\) 로 생각할 수 있음)

항등원을 제외한 H의 원소중에서 이 지수의 값이 양수이며, 가장 작은 원소가 존재한다. 이 값을 \(d\) 로 두자.

H의 원소 \(a^k\) 에 대하여,  \(k=dq+r, 0\leq r < d\) 를 사용하면, \(a^k=a^{dq}a^r=(a^d)^q a^r\) 형태로 쓸 수 있다.

H는 부분군이므로,  \(a^r=(a^d)^{-q}a^k\) 는 H의 원소이다. \(d\)의 정의에 따라, \(r\) 은 0이어야 한다.

그러므로, 모든 H의 원소는 \(a^d\) 로 생성가능하다. ■

 

 

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