숫자 12와 24

간단한 소개

• 수학에서 숫자 12와 24는 매우 흥미로운 수.
• modular group 과 깊게 관련되어 있음.
• \(\sum_{n=1}^{\infty} n =1 + 2 + 3 + 4 + 5 + \cdots = -\frac{1}{12}\)

 

보조정리

\(1 - 2 + 3 - 4 + 5 - 6 + \cdots = \frac{1}{4}\)

(증명)
테일러정리에 의하면,

\(x-2x^2+3x^3-4x^4+\cdots=\frac{x}{(1+x)^2}\)

본래는 양변에 x=1을 넣는 것이 금지되어 있으나, 위에서 물리학이라고 했으므로 괜찮음.
그러므로,

\(1 - 2 + 3 - 4 + 5 - 6 + \cdots = \frac{1}{4}\)

(증명끝)

본론으로 돌아가서,

\(S=1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + \cdots\)

\(2S=2 + 4 + 6 + 8 + \cdots\)

\(4S =2 (2+4+6+8+\cdots)\)

그러므로,

\(1 - 2 + 3 - 4 + 5 - 6 + \cdots + 4S = 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + \cdots= S\)

따라서,

\(-3S= 1 - 2 + 3 - 4 + 5 - 6 + \cdots =\frac{1}{4}\)

\(\sum_{n=1}^{\infty} n =1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + \cdots = -\frac{1}{12}\)

 

Look at Hardy's Divergent series

하위주제들

• Square pyramid puzzles
• 정수계수 2x2 행렬군의 분류
• Leech lattice
• Bosonic string theory
• Lattice polygons

 

 

 

 

 

관련된 다른 주제들

• 라마누잔의 수학

 

 

 

 

 

참고할만한 자료

• Lattice Polygons and the Number 12
  
  • Bjorn Poonen and Fernando Rodriguez-Villegas
  • The American Mathematical Monthly, Vol. 107, No. 3 (Mar., 2000), pp. 238-250

• My Favorite Numbers : 5, 8, and 24
  
  • John Baez
  • The Rankin Lectures, University of Glasgow, September 15-19, 2008
• A short proof of the twelve-point theorem
  
  • Repovscaron D.; Skopenkov M.; Cencelj M.
  • Mathematical Notes, Volume 77, Number 1, January 2005 , pp. 108-111(4)
• The Square Pyramid Puzzle
  
  • W. S. Anglin
  • The American Mathematical Monthly, Vol. 97, No. 2 (Feb., 1990), pp. 120-124