슈르 다항식(Schur polynomial)

수학노트
http://bomber0.myid.net/ (토론)님의 2012년 2월 1일 (수) 08:46 판
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개요
  • 변수의 개수 n과 d의 분할(partition)이 \(\lambda\)가 주어지면 d차 다항식 \( s_\lambda(x_1,\ldots,x_n)\) 이 결정된다
  • 다음과 같은 두 개의 d의 분할을 생각하자
    • \(\rho : n-1,n-2,\cdots, 0\)
    • \(\lambda: \lambda_1 \geq \lambda_2 \geq \cdots \geq \lambda_n\geq 0\)
  • \(a_{\lambda+\rho}=\operatorname{det}(x_{i}^{\lambda_{j}+n-j})\)
  • \(a_{\rho}=\operatorname{det}(x_{i}^{n-j})\)
  • 반데몬드 행렬과 행렬식 (Vandermonde matrix)
  • 슈르다항식은 다음과 같이 정의된다
    \(s_{\lambda} = \frac{a_{\lambda+\rho}}{a_{\rho}}\)

 

 

영 태블로

\(s_\lambda(x_1,\ldots,x_n) = \sum_T w(T)\)

여기서 sum is over all semistandard Young tableaux T of shape λ

 

 

The first Giambelli formula (Jacobi-Trudy 항등식)
  • explicit expression of Schur polynomials as a polynomial in the complete homogeneous symmetric polynomials:
  • \(s_{\lambda} = \operatorname{det}(h_{\lambda_{i}-i+j})\)

 

 

역사

 

 

 

메모

\(s_{\lambda} =\sum_{w\in S_{r} } \epsilon(w) h_{\lambda+\rho - w.\lambda}\)

 

 

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