슈르 다항식(Schur polynomial)

수학노트
http://bomber0.myid.net/ (토론)님의 2012년 2월 3일 (금) 04:17 판
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개요
  • 변수의 개수 n과 d의 분할(partition)이 \(\lambda\)가 주어지면 d차 다항식 \( s_\lambda(x_1,\ldots,x_n)\) 이 결정된다
  • 다음과 같은 두 개의 d의 분할을 생각하자
    • \(\rho : n-1,n-2,\cdots, 0\)
    • \(\lambda: \lambda_1 \geq \lambda_2 \geq \cdots \geq \lambda_n\geq 0\)
  • 다음과 같이 두 다항식을 정의하자
    • \(a_{\lambda+\rho}=\operatorname{det}(x_{i}^{\lambda_{j}+n-j})\)
    • \(a_{\rho}=\operatorname{det}(x_{i}^{n-j})\)
  • 반데몬드 행렬과 행렬식 (Vandermonde matrix)
  • 슈르다항식은 다음과 같이 정의된다
    \(s_{\lambda} = \frac{a_{\lambda+\rho}}{a_{\rho}}\)

 

 

  • 변수의 개수가 3이고, 4의 분할인 경우의 슈르 다항식
    \(\left( \begin{array}{cc} \{4\} & x_1^4+x_1^3 x_2+x_1^2 x_2^2+x_1 x_2^3+x_2^4+\left(x_1^3+x_1^2 x_2+x_1 x_2^2+x_2^3\right) x_3+\left(x_1^2+x_1 x_2+x_2^2\right) x_3^2+\left(x_1+x_2\right) x_3^3+x_3^4 \\ \{3,1\} & x_1^3 x_2+x_1^2 x_2^2+x_1 x_2^3+x_1^3 x_3+2 x_1^2 x_2 x_3+2 x_1 x_2^2 x_3+x_2^3 x_3+x_1^2 x_3^2+2 x_1 x_2 x_3^2+x_2^2 x_3^2+x_1 x_3^3+x_2 x_3^3 \\ \{2,2\} & x_1^2 x_2^2+x_1^2 x_2 x_3+x_1 x_2^2 x_3+x_1^2 x_3^2+x_1 x_2 x_3^2+x_2^2 x_3^2 \\ \{2,1,1\} & x_1^2 x_2 x_3+x_1 x_2^2 x_3+x_1 x_2 x_3^2 \\ \{1,1,1,1\} & 0 \end{array} \right)\)

 

 

 

영 태블로

\(s_\lambda(x_1,\ldots,x_n) = \sum_T w(T)\)

여기서 sum is over all semistandard Young tableaux T of shape λ

 

 

The first Giambelli formula (Jacobi-Trudy 항등식)
  • 슈르 다항식은 complete homogeneous polynomial 의 다항식으로 표현할 수 있다
  • \(s_{\lambda} = \operatorname{det}(h_{\lambda_{i}-i+j})\)
  • 변수가 3인 경우의 complete homogeneous polynomial은 다음과 같다
    \(\left( \begin{array}{cc} h_1 & x_1+x_2+x_3 \\ h_2 & x_1^2+x_1 x_2+x_2^2+x_1 x_3+x_2 x_3+x_3^2 \\ h_3 & x_1^3+x_1^2 x_2+x_1 x_2^2+x_2^3+x_1^2 x_3+x_1 x_2 x_3+x_2^2 x_3+x_1 x_3^2+x_2 x_3^2+x_3^3 \\ h_4 & x_1^4+x_1^3 x_2+x_1^2 x_2^2+x_1 x_2^3+x_2^4+x_1^3 x_3+x_1^2 x_2 x_3+x_1 x_2^2 x_3+x_2^3 x_3+x_1^2 x_3^2+x_1 x_2 x_3^2+x_2^2 x_3^2+x_1 x_3^3+x_2 x_3^3+x_3^4 \end{array} \right)\)
  • 예. \(s_{(2,1,1)}(x_1,x_2,x_3)=h_1^2 h_2-h_2^2-h_1 h_3+h_4\)

 

 

역사

 

 

 

메모

\(s_{\lambda} =\sum_{w\in S_{r} } \epsilon(w) h_{\lambda+\rho - w.\lambda}\)

 

 

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