스털링 수
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개요
\(s(n,k)\) 제1종 스털링 수
\((x)_{k}=\sum_{j}s(k,j)x^{j}\)
\(S(n,k)\) 제2종 스털링 수
\(x^{k}=\sum_{j}S(k,j)(x)_j\)
제1종 스털링 수
- 정의
\((x)_{k}=\sum_{j}s(k,j)x^{j}\)
\((x)_3=x(x-1)(x-2)=2x-3x^2+x^3\)
s(3,0)=0, s(3,1)=2,s(3,2)=-3,s(3,3)=1
제2종 스털링 수
- k개 원소를 갖는 집합을 n개의 블록으로 분할하는 방법의 수
\(S(n,k)\) 제2종 스털링 수
\(x^{k}=\sum_{j}S(k,j)(x)_j\)
예)
x^3 = (x)_1+3(x)_2+(x)_3=x+2x(x-1)+3x(x-1)(x-2)
생성함수
\(\sum_{k}S(k,n)x^k=\frac{x^n}{(1-x)(1-2x)\cdots(1-nx)}\)
지수생성함수
\(\sum_{k}\frac{S(k,n)}{k!}x^k=\frac{(e^x-1)^{n}}{n!}\)
B(n)=\sum_{k}S(n,k)
\{1,2,\cdots,n\} 의 분할으
재미있는 사실
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