에어리 (Airy) 함수와 미분방정식

수학노트
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개요

  • \(y'' - xy = 0\)

\(\mathrm{Ai}(x) = \frac{1}{\pi} \int_0^\infty \cos\left(\tfrac13t^3 + xt\right)\, dt,\)

\(\mathrm{Bi}(x) = \frac{1}{\pi} \int_0^\infty \left[\exp\left(-\tfrac13t^3 + xt\right) + \sin\left(\tfrac13t^3 + xt\right)\,\right]dt.,\)

http://www.wolframalpha.com/input/?i=Ai%28x%29





근사공식

  • 안장점 근사
    \(x>>0\) 일 때,
    \(\mathrm{Ai}(x) \sim \frac{e^{-\frac{2 x^{3/2}}{3}}}{2 \sqrt{\pi } \sqrt[4]{x}}\)
    \(x<<0\) 일 때,
    \(\mathrm{Ai}(x) \sim \frac{\sin \left(\frac{2 |x|^{3/2}}{3}+\frac{\pi }{4}\right)}{\sqrt{\pi } \sqrt[4]{|x|}}\)
  • Asymptotics of the Airy Function




역사



메모



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