오일러-맥클로린 공식

수학노트
http://bomber0.myid.net/ (토론)님의 2009년 5월 1일 (금) 14:34 판
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간단한 소개
  • 수열의 합과 적분을 연결해주는 공식

 

\(\sum_{i=0}^{n-1} f(i) = \int^n_0f(x)\,dx+\sum_{k=1}^p\frac{B_k}{k!}\left(f^{(k-1)}(n)-f^{(k-1)}(0)\right)+R\)

\(\left|R\right|\leq\frac{2}{(2\pi)^{2(p+1)}}\int_0^n\left|f^{(p)}(x)\right|\,dx\)

\(B_0=1\), \(B_1=-{1 \over 2}\), \(B_2={1\over 6}\), \(B_3=0\), \(B_4=-\frac{1}{30}\), \(B_5=0\), \(B_6=\frac{1}{42}\), \(B_8=-\frac{1}{30}\), \(B_{10}=\frac{5}{66}\), \(B_{12}=-\frac{691}{2730}\),\(B_{14}=\frac{7}{6}\)

\(\frac{B_k}{k!}\) 는 \(\{1, -1/2, 1/12, 0, -1/720, 0, 1/30240, 0, -1/1209600, 0, 1/47900160, 0, -691/1307674368000, 0, 1/74724249600\}\)

 

\(\sum_{i=0}^{n-1} f(i) = \int^n_0f(x)\,dx-\frac{1}{2}(f(n)-f(0))+\frac{1}{12}(f'(n)-f'(0))-\frac{1}{720}(f^{(3)}(n)-f^{(3)}(0))+\frac{1}{30240}(f^{(5)}(n)-f^{(5)}(0))-\frac{1}{1209600}(f^{(7)}(n)-f^{(7)}(0))+\cdots\)

 

 

유용한 표현

\(\sum_{i=0}^{n-1} f(i) = \sum_{k=0}^p\frac{B_k}{k!}\left(f^{(k-1)}(n)-f^{(k-1)}(0)\right)+R\)

단, \(f^{(-1)}(x)=\int f(x)\,dx\) 라고 쓰자.

 

 

응용

 

 

오일러와 바젤 문제

\(\sum_{1}^{\infty}\frac{1}{n^2}=\frac{\pi^2}{6}\)

 

\(\int f(x)\,dx=-\frac{1}{x}\), \(f(x)=\frac{1}{x^2}\), \(f'(x)=-\frac{2}{x^3}\), \(f^{(2)}(x)=\frac{6}{x^4}\), \(f^{(3)}(x)=-\frac{24}{x^5}\), \(f^{(k-1)}(x)=(-1)^{k-1}\frac{k!}{x^{k+1}}\)

\(\frac{B_k}{k!}\left(f^{(k-1)}(n)-f^{(k-1)}(1)\right) =(-1)^{k-1}B_k(\frac{1}{n^{k+1}}-1) \)

 

\(\sum_{k=1}^{n-1} \frac{1}{k^2} = -(\frac{1}{n}-1) -\frac{1}{2}(\frac{1}{n^2}-1)-\frac{1}{6}(\frac{1}{n^3}-1)+\frac{1}{30}(\frac{1}{n^5}-1)-\frac{1}{42}(\frac{1}{n^7}-1)+\frac{1}{30}(\frac{1}{n^9}-1) \cdots\)

여기서 오일러는 다음식이 참이라고 가정(사실은 발산함)

\(1+\frac{1}{2}+\frac{1}{6}-\frac{1}{30}+\frac{1}{42}-\frac{1}{30}+\cdots=\frac{\pi^2}{6}\)

그 다음, \(n=10\) 인 경우에 다음식을 계산하여, 값을 비교함.

\(\sum_{k=1}^{n-1} \frac{1}{k^2}+\frac{1}{n}+ \frac{1}{2n^2}+\frac{1}{6n^3}-\frac{1}{30n^5}+\frac{1}{42n^7}-\frac{1}{30n^9}+\cdots\)

 

\(1.5397677311665406904\cdots + 0.10516633568095238095\cdots= 1.6449340668474930714\cdots\)

참고로 \(\frac{\pi^2}{6}=1.6449340668482264365\cdots\)

 

 

오일러상수 \(\gamma\)

\(\lim_{n\to\infty}\sum_{k=1}^{n}\frac{1}{k}-\ln n=\gamma\)

 

\(\int f(x)\,dx=\ln x\), \(f(x)=\frac{1}{x}\), \(f'(x)=-\frac{1}{x^2}\), \(f^{(2)}(x)=\frac{2}{x^3}\), \(f^{(3)}(x)=-\frac{6}{x^4}\), \(f^{(k-1)}(x)=(-1)^{k-1}\frac{(k-1)!}{x^{k}}\)

\(\frac{B_k}{k!}\left(f^{(k-1)}(n)-f^{(k-1)}(1)\right) =(-1)^{k-1}\frac{B_k}{k}(\frac{1}{n^{k}}-1)\)

\(\sum_{k=1}^{n-1} \frac{1}{k}-\ln n = -\frac{1}{2}(\frac{1}{n}-1)-\frac{1}{12}(\frac{1}{n^2}-1)-\frac{1}{120}(\frac{1}{n^4}-1)+\frac{1}{252}(\frac{1}{n^6}-1)-\frac{1}{240}(\frac{1}{n^8}-1) \cdots\)

여기서 오일러라면(?) 다음식이 참이라고 가정 (사실은 발산함)

\(\frac{1}{2}+\frac{1}{12}+\frac{1}{120}-\frac{1}{252}+\frac{1}{240}+\cdots=\gamma\)

그 다음, \(n=10\) 인 경우에 다음식을 계산하면,

\(\sum_{k=1}^{n-1} \frac{1}{k}-\ln n +\frac{1}{2n}+}\frac{1}{12n^2}+\frac{1}{120n^4}-\frac{1}{252^6}+\frac{1}{240n^8}\cdots\)

 

 

\(1.5397677311665406904\cdots + 0.10516633568095238095\cdots= 1.6449340668474930714\cdots\)

참고로 \(\gamma=0.57721566490153286060651209008240243104215933\cdots\)

 

 

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