월리스 곱 (Wallis product formula)

간단한 소개

\(<br/>\prod_{n=1}^{\infty} \frac{(2n)(2n)}{(2n-1)(2n+1)} = \frac{2}{1} \cdot \frac{2}{3} \cdot \frac{4}{3} \cdot \frac{4}{5} \cdot \frac{6}{5} \cdot \frac{6}{7} \cdot \frac{8}{7} \cdot \frac{8}{9} \cdot \cdot \cdot = \frac{\pi}{2}.<br/>\)

 

지금 말하고 있는 드무아브르의 발견은 대략 1730년대 즈음에 벌어졌던 것이다.

 

데카르트가 살았던 것은 1596년 3월부터 1650년 2월까지, 뉴턴이 살았던 때가 1643년 1월부터 1727년 3월까지라고 나와 있으니, 그야말로 거인들의 어깨 위에 우뚝 선 사람들에 의해 새로운 시대의 새로운 발견이 쏟아지던 시기였을 것이다. 기억하는가? 사람들은 17세기 서양사를 천재들의 세기라 부른다는 사실을.

 

이보다 좀 전의 시기였던, 1655년, 영국 수학자 월리스(John Wallis)는 Wallis product라고 불려지는 다음과 같은 공식을 남긴다.(증명은 링크 참조)

 

\(<br/>\prod_{n=1}^{\infty} \frac{(2n)(2n)}{(2n-1)(2n+1)} = \frac{2}{1} \cdot \frac{2}{3} \cdot \frac{4}{3} \cdot \frac{4}{5} \cdot \frac{6}{5} \cdot \frac{6}{7} \cdot \frac{8}{7} \cdot \frac{8}{9} \cdot \cdot \cdot = \frac{\pi}{2}.<br/>\)

 

스털링이 드무아브르가 남긴 문제를 해결하고 역사에 이름을 남길 때, 스털링은 바로 이 월리스의 공식을 사용했다.

 

 

 

 

 

 

관련된 다른 주제들

• 스털링 공식
• 중심극한정리

 

표준적인 도서 및 추천도서

• http://www.amazon.com/s/ref=nb_ss_gw?url=search-alias%3Dstripbooks&field-keywords=

 

위키링크

• http://en.wikipedia.org/wiki/

참고할만한 자료

•  
  드무아브르의 중심극한정리(iii) : 숫자 파이와 동전던지기
  
  • 피타고라스의 창