정수론에서의 상호법칙 (reciprocity laws)

수학노트
http://bomber0.myid.net/ (토론)님의 2009년 10월 3일 (토) 07:38 판
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간단한 소개
  • 정수계수 다항식 f(x)가 주어져 있을 때, f(x) mod p 를 생각한다.
  • 이 때, 어느 소수 p에 대해서 다항식이 일차식들로 쪼개지는가? 더 일반적으로 p가 주어진다면 어떻게 분해되는지 알 수 있는가?
  • 하는 질문이 상호법칙 (reciprocity laws)의 가장 근본적인 질문들

 

 

이차잉여의 상호법칙
  • 정수 계수 이차 다항식 \(x^2-a\) 의 문제
  • \(x^2-a\pmod p\) 가 \(p\) 에 따라 어떻게 분해되는지 혹은 몇 개의 근을 갖는지에 대한 질문
  • 자세한 사항은 이차잉여의 상호법칙 에서 다루기로 함.
  • 이차수체

 

 

디리클레 정리와 상호법칙의 관계
  • 상호법칙의 질문에 따라 Cyclotomic 다항식의 분해에 대한 문제를 생각해 볼 수 있음.
  • 간단한 경우로 \(\Phi_n(x) \pmod p\) 가 어떤 소수 \(p\) 에 대해 일차식들로 분해되는가의 문제를 생각할 수 있음.

 

(정리)

\(n | p-1\) 이면, \(\Phi_n(x) \pmod p\)는 일차식들로 분해됨

 

(증명)

유한체 \(\mathbb F_p\) 의 원소중에서 방정식 \(x^n=1\) 을 만족시키는 원소의 개수는 \(\phi(n)\)과 같다. (오일러의 totient 함수)

이러한 원소들은  \(\Phi_n(x)=0 \pmod p\) 의 해가 되고, 또한 그 개수가 \(\Phi_n(x)\) 의 차수와 같다.

따라서  \(\Phi_n(x) \pmod p\) 가 일차식들로 분해됨을 알 수 있다. (증명끝)

 

 \(n | p-1\) 이면, \(\Phi_n(x) \pmod p\)는 일차식들로 분해되는데, 이 사실은 \(\text{Frob}_p\) 가 체확장 \(\mathbb Q \subset \mathbb Q(\zeta_n)\)의 갈루아군의 항등원임을 의미한다.

프로베니우스의 density 정리에 의하면, \(\text{Frob}_p\)가 항등원이 되는 소수 p는 무한히 많으므로, 디리클레 정리의 특수한 경우 \(p\equiv 1 \pmod n\) 가 증명된다.

 

Cebotarev Density theorem
  • 일반적인 수체

 

프로베니우스의 density 정리

 

 

arithmetic of cyclotomic fields
  • Kronecker-Weber theorem and Ray class field
  • 이차잉여의 상호법칙

디리클레 정리

 

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