정칠각형

정칠각형이 단위원에 내접하고 있고, 한 점의 좌표가 (1,0) 으로 주어진 경우
방정식 \(z^6 + z^5 + z^4 + z^3 + z^2 + z + 1 = 0\)
은 다음과 같은 순서로 풀수 있음.
양변을 \(z^3\)으로 나누면, \(z^3+z^2+z+1+\frac{1}{z}+\frac{1}{z^2}+\frac{1}{z^3}=0\) 을 얻게됨.

\(y=z+\frac{1}{z}\) 로 치환하면, 원래의 방정식에서 다음 식을 얻을 수 있음.

\(z^3+z^2+z+1+\frac{1}{z}+\frac{1}{z^2}+\frac{1}{z^3}=(z+\frac{1}{z})^3+(z+\frac{1}{z})^2-2(z+\frac{1}{z})-1=y^3+y^2-2y-1=0\)

방정식을 풀면,

\(y^3+y^2-2y-1=0\)

\(y=2\cos\frac{2\pi}{7}, 2\cos\frac{4\pi}{7},2\cos\frac{6\pi}{7}\)

\(z^2-yz+1=0\)

\(z=\frac{y+\sqrt{y^2-4}}{2}\)

을 얻게 됨.

복소평면상에서 \(z\) 의 \(x\) 좌표는 \(\frac{-1+\sqrt{5}}{4} , \frac{-1-\sqrt{5}}{4}\) 로 주어짐.

\(\alpha, -\beta, -\gamma^{-1}\) 가 방정식\(x^3+2x^2-x-1=0\) 의 해라고 하자.

\(7L(\alpha^2)-7L(\alpha)+L(1)=0\)

\(7L(\beta^2)+14L(\beta)-10L(1)=0\)

\(7L(\gamma^2)+14L(\gamma)-8L(1)=0\)

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