초기하급수(Hypergeometric series)

수학노트
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간단한 소개
  • 두 연속한 계수의 비가 \(n\) 에 관한 유리함수인 멱급수를 초기하급수라 함. 즉,
    \(\beta_0 + \beta_1 z + \beta_2 z^2 + \dots = \sum_n \beta_n z^n\)

\(\frac{\beta_{n+1}}{\beta_n} = \frac{A(n)}{B(n)}\) 이고 \({A(n)},{B(n)}\)은 n에 관한 다항식인 경우

 

 

정의

계수의 비가 유리함수이므로 분자와 분모를 각각 일차식들로 분해하여 다음과 같이 주어지는 경우,

\(\frac{A(n)}{B(n)}=\frac{c(a_1+n)\dots(a_p+n)}{d(b_1+n)\dots(b_q+n)(1+n)}\)

where c and d are the leading coefficients of A and B

급수는 다음과 같이 주어진다.

\(1 + \frac{a_1\dots a_p}{b_1\dots b_q.1}\frac{cz}{d} + \frac{a_1\dots a_p}{b_1\dots b_q.1} \frac{(a_1+1)\dots(a_p+1)}{(b_1+1)\dots (b_q+1).2}\left(\frac{cz}{d}\right)^2+\dots\)

변수를 적당히 상수배하면 다음과 같은 급수를 얻는다.

\(\,_pF_q(a_1,\ldots,a_p;b_1,\ldots,b_q;z)=1 + \frac{a_1\dots a_p}{b_1\dots b_q}\frac{z}{1!} + \frac{a_1(a_1+1)\dots a_p(a_p+1)}{b_1(b_1+1)\dots b_q(b_q+1)}\frac{z^2}{2!}+\dots\)

Pochhammer 기호 \((a)_n=a(a+1)(a+2)...(a+n-1),\,(a)_0 = 1\)

를 사용하면 좀더 간결한 다음과 같은 표현을 얻는다.

\(\,_pF_q(a_1,\ldots,a_p;b_1,\ldots,b_q;z) = \sum_{n=0}^\infty \frac{(a_1)_n\dots(a_p)_n}{(b_1)_n\dots(b_q)_n} \, \frac {z^n} {n!}\)


가우스의 초기하함수

\(\,_2F_1(a,b;c;z)=\sum_{n=0}^{\infty} \frac{(a)_n(b)_n}{(c)_nn!}z^n\)

미분방정식

\(z(1-z)\frac{d^2w}{dz^2}+(c-(a+b+1)z)\frac{dw}{dz}-abw = 0\)

을 만족시킴.

 

 

예
  • 지수함수
    \(e^z=1+\frac{z}{1!}+\frac{z^2}{2!}+\frac{z^3}{3!}+\dots=\sum_n \beta_n z^n\)
    \(\beta_n = \frac{1}{n!}\)
    \(\frac{\beta_{n+1}}{\beta_n} = \frac{1}{n+1}\)
  • \((1-z)^{-a}=F(a,1;1;z)\)
  • \(\arcsin z=zF(1/2,1/2;3/2;z)\)
  • \(K(k) =\frac{\pi}{2}\,_2F_1(\frac{1}{2},\frac{1}{2};1;k^2)\)

 

 

타원적분과 초기하급수

\(K(k) = \int_0^{\frac{\pi}{2}} \frac{d\theta}{\sqrt{1-k^2 \sin^2\theta}} = \int_0^{\frac{\pi}{2}}\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(\frac{1}{2})_n}{n!} k^{2n}\sin^{2n}\theta{d\theta} \)

\(\int_0^{\frac{\pi}{2}}\sin^{2n}\theta{d\theta}=\frac{\pi}{2}\frac{(\frac{1}{2})_n}{(1)_n}\) (감마함수) 이므로

\(K(k) = \frac{\pi}{2}\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(\frac{1}{2})_n(\frac{1}{2})_n}{n!(1)_n}k^{2n} = \frac{\pi}{2}\,_2F_1(\frac{1}{2},\frac{1}{2};1;k^2)\)


Clausen 항등식

\(\,_2F_1(a,b,;a+b+\frac{1}{2};z)^2 = \,_3F_2(2a,a+b,2b;a+b+\frac{1}{2},2a+2b;z) \)

 

 

q-초기하급수
  • 초기하급수의 q-analogue
    \(\;_{j}\phi_k \left[\begin{matrix} a_1 & a_2 & \ldots & a_{j} \\ b_1 & b_2 & \ldots & b_k \end{matrix} ; q,z \right] \) \(=\sum_{n=0}^\infty \frac {(a_1;q)_n(a_2;q)_n\cdots (a_{j};q)_n} {(q;q)_n(b_1;q)_n,\cdots (b_k,q)_n} \left((-1)^nq^{n\choose 2}\right)^{1+k-j}z^n\)
  • q-hypergeometric 또는 basic hypergeometric 급수로 불림

 

 

q-초기하급수의 예

\(\prod_{n=1}^{\infty}(1+zq^n)=1+\sum_{n\geq 1}\frac{q^{n(n+1)/2}}{(1-q)(1-q^2)\cdots(1-q^n)} z^n\)

\(\prod_{n=1}^{\infty}\frac{1}{1-zq^n}=1+\sum_{n\geq 1}\frac{q^n}{(1-q)(1-q^2)\cdots(1-q^n)} z^n\)

\(R(z)=\sum_{n\geq 0}\frac{z^nq^{n^2}}{(1-q)\cdots(1-q^n)}=\sum_{n\geq 0}\frac{z^nq^{n^2}}{(1-q)_q^n}\)

 

 

\(H(q)=R(q)\)

\(G(q)=R(1)\)

 

  • \(j=k=0\), \(z=-q^{\frac{1}{2}}\) 인 경우

\(G(q) = \sum_{n=0}^\infty \frac {q^{n^2}} {(q;q)_n} = \frac {1}{(q;q^5)_\infty (q^4; q^5)_\infty} =1+ q +q^2 +q^3 +2q^4+2q^5 +3q^6+\cdots\)

  • \(j=k=0\), \(z=-q^{\frac{3}{2}}\) 인 경우
    \(H(q) =\sum_{n=0}^\infty \frac {q^{n^2+n}} {(q;q)_n} = \frac {1}{(q^2;q^5)_\infty (q^3; q^5)_\infty} =1+q^2 +q^3 +q^4+q^5 +2q^6+\cdots\)

 

 

자코비 triple product 공식

\(\sum_{n=-\infty}^\infty z^{n}q^{n^2}= \prod_{m=1}^\infty \left( 1 - q^{2m}\right) \left( 1 + zq^{2m-1}\right) \left( 1 + z^{-1}q^{2m-1}\right)\)

 

 

Heine's theorem


 

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