타원곡선

수학노트
http://bomber0.myid.net/ (토론)님의 2009년 10월 17일 (토) 09:47 판
둘러보기로 가기 검색하러 가기
간단한 소개

 

 

 

격자와 타원곡선

\(y^2=4x^3-g_2(\tau)x-g_3\)

\(g_2(\tau) = 60G_4=60\sum_{ (m,n) \neq (0,0)} \frac{1}{(m+n\tau )^{4}}\)

\(g_3(\tau) = 140G_6=140\sum_{ (m,n) \neq (0,0)} \frac{1}{(m+n\tau )^{6}}\)

 

 

군의 구조
  • chord-tangent method
  • 유리수해에 대한 Mordell theorem
    • 유리수체 위에 정의된 타원의 유리수해는 유한생성아벨군의 구조를 가짐
    • \(\mathbb{Z}^r \oplus \mathbb{T}\)
       

 

덧셈공식
  • \(y^2=x^3+ax^2+bx+c\)위의 점 \(P=(x,y)\)에 대하여,
    \(2P\)의 \(x\)좌표는\(\frac{x^4-2bx^2-8cx-4ac+b^2}{4y^2}\) 로 주어진다

 

 

 

rank와 torsion
  • the only possible torsion groups for elliptic curves over Q are the cyclic groups of order 1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,12 [sic -- 11 is not possible] and
    \(\frac{\mathbb Z}{2\mathbb Z}\oplus \frac{\mathbb Z}{n\mathbb Z}\) for n=1,2,3,4
  • 예) \(E_n : y^2=x^3-n^2x\)의 torsion은 \(\{(\infty,\infty), (0,0),(n,0),(-n,0)\}\)임

 

 

예
  • \(y^2=x^3-x\)
    [/pages/2061314/attachments/2299029 MSP1975197gdf732cih44i50000361d01gd578fhc4a.gif]
  • 유리수해
    \(E(\mathbb Q)=\{(\infty,\infty), (0,0),(1,0),(-1,0)\} \simeq \frac{\mathbb Z}{2\mathbb Z}\oplus \frac{\mathbb Z}{2\mathbb Z}\)
  • 주기
    \(2\omega=4\int_0^1\frac{dx}{\sqrt{1-x^4}}=B(1/2,1/4)=\frac{\Gamma(\frac{1}{2})\Gamma(\frac{1}{4})}{\Gamma(\frac{3}{4})}=5.24\cdots\)

 

 

 

L-함수

 

타니야마-시무라 추측(정리)

 

 

Birch and Swinnerton-Dyer conjecture

 

재미있는 사실

 

 

역사

 

 

관련된 다른 주제들

 

 

수학용어번역

 

 

사전 형태의 자료

 

 

관련논문

  1. On the Conjecture of Birch and Swinnerton-Dyer for an Elliptic Curve of Rank 3
    # Joe P. Buhler, Benedict H. Gross and Don B. Zagier
    # Mathematics of Computation, Vol. 44, No. 170 (Apr., 1985), pp. 473-481
  • Rational isogenies of prime degree
    • Barry Mazur, Inventiones Math. 44 (1978), 129--162

 

 

관련도서 및 추천도서

 

 

관련기사

 

 

블로그
원본 주소 "https://wiki.mathnt.net/index.php?title=타원곡선&oldid=20084"