타원곡선의 주기
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개요==
정의==
- 타원곡선 \(y^2=(x-e_1)(x-e_2)(x-e_3)\)의 주기는 두 복소수 \(\omega_1,\omega_2\)에 의해 생성되는 2차원 격자 \(\Lambda=\{m_1\omega_1+m_2\omega_2)|m_1,m_2\in\mathbb{Z}\}\)이다
\(\omega_1=2\int_{e_1}^{\infty}\frac{dx}{\sqrt{(x-e_1)(x-e_2)(x-e_3)}}\)
\(\omega_2=2\int_{e_2}^{e_1}\frac{dx}{\sqrt{(x-e_1)(x-e_2)(x-e_3)}}\)
\(\omega_1=2\int_{e_1}^{\infty}\frac{dx}{\sqrt{(x-e_1)(x-e_2)(x-e_3)}}\)
\(\omega_2=2\int_{e_2}^{e_1}\frac{dx}{\sqrt{(x-e_1)(x-e_2)(x-e_3)}}\)
예==
- 타원곡선 \(y^2=x^3-x\)의 경우 (타원곡선 y^2=x^3-x 에서 가져옴)
\(e_1=1, e_2=0, e_3=-1\)로 두자
\(\omega_1=2\int_{1}^{\infty}\frac{dx}{\sqrt{x^3-x}}=\frac{\Gamma(\frac{1}{2})\Gamma(\frac{1}{4})}{\Gamma(\frac{3}{4})}=5.24\cdots\)
\(\omega_2=2i\int_0^1\frac{dx}{\sqrt{x-x^3}}=2i\int_{\infty}^1\frac{-dy}{\sqrt{y^3-y}}=i\omega_{1}\)
\(e_1=1, e_2=0, e_3=-1\)로 두자
\(\omega_1=2\int_{1}^{\infty}\frac{dx}{\sqrt{x^3-x}}=\frac{\Gamma(\frac{1}{2})\Gamma(\frac{1}{4})}{\Gamma(\frac{3}{4})}=5.24\cdots\)
\(\omega_2=2i\int_0^1\frac{dx}{\sqrt{x-x^3}}=2i\int_{\infty}^1\frac{-dy}{\sqrt{y^3-y}}=i\omega_{1}\)