표본평균과 표본분산

크기가 N인 유한모집단의 모평균이 \(\mu\), 모분산이 \(\sigma^2\) 이라고 가정하자.

여론조사의 경우라면, 모집단의 \(\mu\)와 \(\sigma^2\)를 알지 못하는 상태에서, 하나의 표본을 통하여 이를 추출하는 문제에 해당한다.

크기가 n인 표본 \(y_1,\cdots,y_n\) 을 모집단에서 추출했다고 하면, 이로부터 표본평균과 표본분산을 다음과 같이 얻는다.

\(\bar{y}=\sum_{i=1}^{n}y_{i}\)

\(s^2=\frac{1}{n-1}\sum_{i=1}^{n}(y_{i}-\bar{y})^2\)

\(\bar{y}\)와 \(s^2\) 는 모두 새로운 확률변수로 이해할 수 있으며, 이 확률변수의 평균과 분산을 모평균 \(\mu\), 모분산 \(\sigma^2\)를 통하여 표현하기를 원한다.

확률변수 \(\bar{y}\)의 경우

\(E(\bar{y})=\mu\), \(V(\bar{y})=\frac{\sigma^2}{n}(\frac{N-n}{N-1})\)

확률변수 \(s^2\)의 경우

\(E(s^2)=\frac{N}{N-1}\sigma^2\), \(V(s^2)=\frac{\sigma^2}{n}(\frac{N-n}{N})\)

n-1로 나누기 vs n으로 나누기

n-1 로 나누는 경우, 비편향분산이라고 불리기도 하며, 모집단의 분산에 대한 불편추정량이 되는 좋은 성질을 갖는다.

Bessel's correction yields an unbiased estimator of the population variance

목차