보존되지 않으면 임계성은 없다

앞의 '보존되지 않는 자기조직화 임계성 모형'이라는 글에서 제시했듯이, 에너지 보존이 임계성의 필수 요소인가라는 질문에 대한 얘기를 하는 중입니다. 2년 전 세미나에서 이 주제로 발표했을 때 한 번에 너무 많은 내용을 다루려고 욕심을 냈던 것 같습니다. 그래서 산수만 정리해놓고 그게 무슨 의미인지 제대로 이해하지 못하여 마침 그런 질문이 있었는데 대답할 수 없었습니다. 오늘은 그 부분을 다시 봤습니다.

1997년 브뢰커(H.-M. Broker)와 그라스베르거(P. Grassberger)가 <피지컬 리뷰 E(PRE)>에 낸 논문에서는 에너지 보존이 임계성의 필수 요소임을 보여줍니다. 이들은 OFC 지진 모형(Olami-Feder-Christensen earthquake model)의 랜덤 이웃 모형을 이용합니다. N개의 자리 각각에는 0 이상 1 미만의 에너지가 랜덤하게 주어지고, 모든 자리의 에너지가 아주 조금씩 연속적으로 커집니다. 그러다 어떤 자리의 에너지가 1 이상이 되면 무너지기(toppling)가 일어납니다. 이 때 이웃 n개를 랜덤하게 골라서 각 이웃에 무너진 자리의 에너지에 α를 곱한만큼의 에너지를 전달합니다. α는 1/n보다 작은 값으로 주어지며 무너진 자리의 에너지는 0이 됩니다. 에너지를 전달받은 자리 중 에너지가 1 이상이 되면 무너집니다... 그러다 모든 에너지가 1 미만이 되면 다시 모든 자리의 에너지를 아주 조금씩 연속적으로 키웁니다.

α가 1/n보다 작기 때문에 생기는 무너진 자리에서의 에너지 감소량과 사태가 일어나기 전까지 모든 자리에서 발생하는 에너지 증가량이 같아야 총에너지는 일정한 수준으로 유지될 겁니다.

\((1-n\alpha)\overline{z_{act}}\langle s\rangle = N(1-\overline{z_{max}})\)

우변의 z_max는 사태가 끝나고 난 후 각 자리의 에너지 중 가장 큰 값을 뜻합니다. 결국 그 놈의 에너지가 1이 될 때까지 모든 자리의 에너지를 연속적으로 증가시킬테니까요.

무너지기 비율(toppling rate) σ를 정의하는데요, 이건 각 자리가 단위 시간 동안 평균적으로 몇 번 무너지기를 하는가를 뜻합니다. 에너지 증가속도가 1이라고 하면 1 - z_max만큼의 '시간' 동안 사태의 크기를