팔찌 위의 모래더미에서 정상밀도와 문턱밀도

앞 글 "밀도 추측은 틀렸다"에서 결과만 말했는데요, 그중에서도 팔찌 그래프 위의 모래더미 모형에서 정상밀도와 문턱밀도를 정확히 구해보겠습니다. 그 전에 앞 글에서 소개한 논문의 최신 버전(v3)과 그 논문의 긴 버전(v2)을 링크해둡니다:

A. Fey et al., Driving Sandpiles to Criticality and Beyond, arXiv:0912.3206v3

A. Fey et al., The approach to criticality in sandpiles, arXiv:1001.3401v2

관련하여 박수찬 박사님과 그라스베르거의 논문도 링크해둡니다.

S.-C. Park, Absence of the link between self-organized criticality and deterministic fixed energy sandpiles, arXiv:1001.3359v1

P. Grassberger and S.S. Manna, Some more sandpiles, J. Phys. France 51, 1077 (1990)

팔찌 하기 전에 1차원 격자부터 봅시다. 이 결과가 있어야 팔찌 결과가 얻어집니다. DS인 경우, 크기가 n인 1차원 격자에서 되돌이 배열(recurrent configuration)은 n+1개 있는데, 모든 자리에 모래알이 1개씩 있는 거 하나랑 빈 자리가 1개만 있는 거 n개입니다. n이 무한히 크다고 하면 정상밀도 ζ_s는 1입니다. FES인 경우, 모래알 밀도가 1보다 작다면 유한한 시간 내에 배열은 안정해집니다(stabilization). 밀도가 1