하이젠베르크 스핀 1/2 XXX 모형

하이젠베르크 모형은 다음과 같습니다.

\(H=-J\sum_{\langle ij\rangle}\vec S_i\cdot\vec S_j\)

이 모형의 해밀토니안은 이웃한 두 스핀 사이의 내적들의 합입니다. 여기서 두 '스핀'이라고 했는데 원래는 스핀 연산자(spin operator)입니다. 스핀은 순전히 양자역학적인 개념이지만 '고전적 스핀'을 정의하여 쓰기도 합니다. 위키피디아에도 양자 스핀의 하이젠베르크 모형과 고전적 스핀의 하이젠베르크 모형이 따로 정리되어 있습니다. 이번 통계물리 겨울학교에서 양자 스핀의 하이젠베르크 모형을 유도하는 과정을 배웠는데요, 다른 책들을 참고하여 간단히 정리하려고 합니다.

두 개의 수소 원자가 가까이 있다고 합시다. 즉 양성자 두 개와 전자 두 개가 주어져 있고 각 전자는 각 양성자 주위에 존재합니다. 두 양성자의 위치는 고정되어 있으며 전자들의 활동범위가 겹칩니다. 두 전자는 쿨롱 상호작용을 하겠죠. 고전적으로는 두 전자를 구분할 수 있으므로 두 전자가 움직이다가 충돌해 튕겨나오더라도 어떤 놈이 어떤 놈인지 알 수 있습니다. 하지만 양자역학적으로는 두 전자를 구분할 수 없습니다. 거칠게 말해서, 불확정성 원리에 의해 위치와 운동량을 동시에 정확히 측정하기 힘들므로 두 전자가 충돌 후 튕겨나왔을 때 어떤 놈이 어떤 놈인지 불확실해집니다. 아래 그림을 보세요.

이렇게 구분할 수 없는(indistinguishable) 입자들로 이루어진 시스템에는 치환대칭(permutation symmetry)이 존재합니다. 이를테면 똑같은 책이 두 권 나란히 놓여 있다면 어떤 걸 왼쪽에 놓아도 차이가 없겠죠. 이제 입자 두 개의 위치를 바꾸는 치환연산자(permutation operator)를 도입합니다.

\(P_{12}|k'k''\rangle=|k''k'\rangle\)

이 연산자에 의해 1번 입자는 k' 상태에 있다가 k 상태로 변하고 2번 입자는 k 상태에 있다가 k' 상태로 변합니다. 이 치환연산자를 두 번 적용하면 원래 상태로 돌아옵니다.

\(P_{12}^2|k'k''\rangle=|k'k''\rangle\)

이로부터 치환연산자의 고유값은 1 또는 -1임을 알 수 있습니다. 고유값이 1인 경우를 '대칭'이라 부르며 여기에 해당하는 입자를 보존(boson)이라고 합니다. 고유값이 -1인 경우는 '반대칭(antisymmetry)'이라고 하며 여기에 해당하는 입자를 페르미온(fermion)이라고 합니다. 각 입자가 k'과 k이라는 두 상태에만 있을 수 있다면 두 페르미온이 가질 수 있는 유일한 상태(즉 홑겹; singlet)는 다음과 같습니다.

\(\frac{1}{\sqrt{2}}(|k'k''\rangle-|k''k'\rangle)\)

두 보존이라면 세 상태(즉 세겹; triplet)를 가질 수 있습니다.

\(|k'k'\rangle,\ |k''k''\rangle,\ \frac{1}{\sqrt{2}}(|k'k''\rangle+|k''k'\rangle)\)

셋 중 앞의 둘에서 두 보존은 동일한 상태에 놓여 있습니다. 그에 반해 두 페르미온은 동일한 상태에 있을 수 없습니다. 이걸 파울리 배타원리(Pauli exclusion principle)라고 하죠. 누구와도 잘 지내는 사람은 보존이라 할 수 있고, 웬만해서는 다른 사람과 자리를 나누지 않는 사람은 페르미온이라 할 수 있습니다. (사쿠라이의 양자역학 책 362쪽에도 페르미온은 the least sociable, 보존은 the most sociable이라는 얘기가 나옵니다.)

위에서 k는 어떤 입자의 상태를 뜻한다고 했는데 한 입자의 '상태'는 위치와 스핀을 모두 포함합니다. 구체적으로, 한 입자의 파동함수는 위치에 관한 함수와 스핀에 관한 함수의 곱으로 씌어집니다. 앞서 말한 두 개의 수소 원자에 있는 두 개의 전자를 봅시다. 전자는 스핀 1/2인 입자이므로 스핀은 위(up; ↑) 또는 아래(down; ↓)의 상태만 갖습니다. 위치에 대해서는

 

전자 두 개가 같은 양성자 주위에 있을 가능성이 매우 낮다고 하고 전자들의 위치에 관한 파동함수를 다음처럼 씁니다.

\(\psi_1(r_1),\ \psi_2(r_2)\)

 

다시 본론으로 돌아가서;;; 어떤 시스템의 상태는 파동함수로 기술되는데 이는 입자들의 위치와 스핀에 대한 정보를 담고 있습니다. 페르미온이라면 전체 파동함수가 반대칭이어야 하므로 위치에 대한 파동함수가 대칭이고 스핀에 대한 파동함수가 반대칭이거나, 위치에 대한 파동함수가 반대칭이고 스핀에 대한 파동함수가 대칭이어야 합니다.