세르 관계식 (Serre relations)

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l : 리대수 \(\mathfrak{g}\)의 rank
\((a_{ij})\) : 카르탄 행렬
생성원 \(e_i,h_i,f_i , (i=1,2,\cdots, l)\)
세르 관계식
- \(\left[h_i,h_j\right]=0\)
- \(\left[e_i,f_j\right]=\delta _{i,j}h_i\)
- \(\left[h_i,e_j\right]=a_{i,j}e_j\)
- \(\left[h_i,f_j\right]=-a_{i,j}f_j\)
- \(\left(\text{ad} e_i\right){}^{1-a_{i,j}}\left(e_j\right)=0\) (\(i\neq j\))
- \(\left(\text{ad} f_i\right){}^{1-a_{i,j}}\left(f_j\right)=0\) (\(i\neq j\))
ad 는 adjoint 의 약자
- \(\left(\text{ad} x\right){}^{3}\left(y\right)=[x, [x, [x, y]]]\)
- \(\left(\text{ad} x\right){}^{4}\left(y\right)=[x, [x, [x, [x, y]]]]\)

카르탄 행렬
\(\left( \begin{array}{cc} 2 & -1 \\ -1 & 2 \end{array} \right)\)
\(i\neq j\) 일 때
\(\left(\text{ad} e_i\right){}^{2}\left(e_j\right)=[e_i, [e_i,e_j]]=0\)
\(\left(\text{ad} f_i\right){}^{2}\left(f_j\right)=[f_i, [f_i,f_j]]=0\)

카르탄행렬이 \((a_{ij})\) 로 주어지는 리대수 \(\mathfrak{g}\)의 UEA \(U(\mathfrak{g})\) 에서 다음의 두 식
\(\left(\text{ad} e_i\right){}^{1-a_{i,j}}\left(e_j\right)=0\) (\(i\neq j\)), \(\left(\text{ad} f_i\right){}^{1-a_{i,j}}\left(f_j\right)=0\) (\(i\neq j\))
다음과 같이 표현할 수 있다
\(\sum_{k=0}^{1-a_{i,j}}(-1)^k \binom{1-a_{i,j}}{k}e_{i}^{1-a_{i,j}-k}e_{j}e_{i}^k=0\)
\(\sum_{k=0}^{1-a_{i,j}}(-1)^k \binom{1-a_{i,j}}{k}f_{i}^{1-a_{i,j}-k}f_{j}f_{i}^k=0\)
풀어 쓰면 다음과 같은 형태가 된다
\(x\otimes x\otimes y-2 x\otimes y\otimes x+y\otimes x\otimes x\)
\(x\otimes x\otimes x\otimes y-3 x\otimes x\otimes y\otimes x+3 x\otimes y\otimes x\otimes x-y\otimes x\otimes x\otimes x\)
\(x\otimes x\otimes x\otimes x\otimes y-4 x\otimes x\otimes x\otimes y\otimes x+6 x\otimes x\otimes y\otimes x\otimes x-4 x\otimes y\otimes x\otimes x\otimes x+y\otimes x\otimes x\otimes x\otimes x\)