양자 조화진동자

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질량 m, frequency \(\omega\) 인 조화진동자
해밀토니안\[H(p,q)=\frac{p^2}{2m}+\frac{1}{2}m\omega^{2}q^2\]
해밀턴 방정식\[\dot{q}=\partial H/\partial p=\frac{p}{m}\]\[\dot{p}=-\partial H/\partial q=-m\omega^{2}q\]
운동방정식\[\ddot{x}=-\omega^{2} x\] 즉 \(\ddot{x}+\omega^{2} x=0\)

위치 연산자와 운동량 연산자\[[\hat x,\hat p] = \hat x \hat p - \hat p \hat x = i \hbar\]\[\hat p = - i \hbar {\partial \over \partial x}\]
해밀토니안\[\hat H(\hat p,\hat x) = \frac{{\hat p}^2}{2m} + \frac{1}{2} m \omega^2 {\hat x}^2=- \frac{{\hbar}^2}{2m}\frac{\partial^2}{\partial x^2} + \frac{1}{2} m \omega^2 {\hat x}^2\]\[\hat H = \hbar \omega \left(a^{\dagger}a + 1/2\right)=\hbar \omega \left(a a^{\dagger }-\frac{1}{2}\right)\]
사다리 연산자(ladder operator)\[a =\sqrt{m\omega \over 2\hbar} \left(\hat x + {i \over m \omega} \hat p \right)\]\[a^{\dagger} =\sqrt{m \omega \over 2\hbar} \left( \hat x - {i \over m \omega} \hat p \right)\]
Commutation relation\[\left[a , a^{\dagger} \right] = 1\]\[\left[ H, a \right]= - \hbar \omega a\]\[\left[ H, a^\dagger \right] = \hbar \omega a^\dagger\]

슈뢰딩거 방정식
위치에너지가 t에 의존하지 않으므로 time independent equation 을 다음과 같이 쓸 수 있다\[E \psi_{E} = -\frac{\hbar^2}{2m}{\partial^2 \psi_{E} \over \partial x^2} + V(x)\psi_{E}\]\[V(x)=\frac{k}{2}x^2=\frac{1}{2}m \omega^2x^2\]
energy eigenstate의 파동함수는 \(\psi(t,x)=e^{-iEt/\hbar}\psi_{E}(x)\) 형태로 쓸 수 있다
http://www.colby.edu/chemistry/PChem/notes/Hermite.pdf
http://www.fisica.net/quantica/quantum_harmonic_oscillator_lecture.pdf
에르미트 다항식(Hermite polynomials)

a harmonic oscillator that vibrates with frequency \(\omega\) can have energy \(\frac{\omega}{2}, (1 +\frac{1}{2})\omega, (2 +\frac{1}{2})\omega,(3 +\frac{1}{2})\omega,\cdots\)
바닥 상태의 에너지
- lowest energy state
- \(\omega/2\)

“The career of a young theoretical physicist consists of treating the harmonic oscillator in ever-increasing levels of abstraction.” - Sidney Coleman
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