영거리 과정 - 큰 바름틀 분배함수

지난 글에서는 영거리 과정(zero range process; ZRP)의 정상상태가 분해되어 깔끔하게 씌어진다는 걸 보았습니다. 지난번에 정의한 바름틀 분배함수를 확장하여 큰 바름틀 분배함수를 구하고 이로부터 밀도, 입자수의 분포, 평균 뜀 비율 등을 다시 구해보겠습니다. 그리고나서 응집(condensation)에 대한 논의를 소개합니다.

바름틀 분배함수는 입자의 개수가 고정되어 있는 경우에 쓰이며, 입자의 개수가 변할 때에는 큰 바름틀 분배함수를 퓨개서티(fugacity) z를 도입하여 다음처럼 정의할 수 있습니다.

\(Z_L(z)=\sum_{n=0}^\infty z^nZ_{L,n}\)

그런데 fugacity를 한글로 휘산도, 도산성이라고들 하는데, 왜 이렇게 알아듣기 힘들게 번역을 해놓았는지 모르겠네요. 쉽게 말해 입자의 개수를 조절하는 정도로 보면 되는데 입자가 시스템을 드나드는데 얼마나 자유롭게 드나들 수 있는지에 관한 양입니다. 사전을 찾아보니 '달아나기 쉬움, 덧없음' 같은 뜻이 있는데요, '달아나기 쉽다'가 제가 말한 '드나든다'는 말이겠죠. 일단 적절한 한글이 떠오르지 않으므로 그냥 퓨개서티로 부르겠습니다. 나중에 따로 고민해봅시다.

큰 바름틀 분배함수를 이용해서 입자의 밀도를 다음처럼 정의합니다.

\(\rho=\frac{1}{L}\langle n\rangle=\frac{1}{L}\frac{\sum_{n=0}^\infty n z^n Z_{L,n}}{Z_L(z)}=\frac{z}{L}\frac{\partial\ln Z_L(z)}{\partial z}\)

지난 글에서 구했던 바름틀 분배함수를 이용하면 큰 바름틀 분배함수는 다음처럼 쓸 수도 있습니다.

\(Z_L(z)=\sum_{\{m_l=0\}}^\infty z^{\sum_l m_l}\prod_{l=1}^L f(m_l)=[F(z)]^L,\ F(z)=\sum_{m=0}^\infty z^mf(m)\)

그럼 밀도는 F를 이용해서 쓸 수 있습니다.

\(\rho=z\frac{F'(z)}{F(z)}\)

어떤 자리에 입자가 n개 있을 확률, 즉 입자 개수의 분포 p(n)을 큰 바름틀 앙상블로 구합니다.

\(p(n)=\frac{\sum_{\{m_l=0\},l\geq 2}^\infty z^n z^{\sum_l m_l}f(n)\prod_{l=2}^L f(m_l)}{Z_L(z)}=\frac{z^nf(n)}{F(z)}\)

즉 가능한 모든 경우 중에 특정한 자리(여기서는 임의로 1번이라고 합시다)에 n개의 입자가 있는 경우의 비율로서 정의됩니다. 이걸 이용해서 평균 뜀 비율도 계산됩니다.

\(\langle u(n)\rangle=\sum_n p(n)u(n)=\sum_n \frac{z^nf(n)}{Z_L(z)}u(n)=z\)

앞에서 퓨개서티로 썼던 z가 바로 평균 뜀 비율과 같다는 결과가 나옵니다.

내용을 완성해야 하는데 계속 미루게 됩니다. 일단 여기까지라도 올리겠습니다.