Q-가우스 합
개요
- [GR2004] (1.5.1) Heine's q-analogue of Gauss' summation formula\[_2\phi_1(a,b;c,q,c/ab)=\frac{(c/a;q)_{\infty}(c/b;q)_{\infty}}{(c;q)_{\infty}(c/(ab);q)_{\infty}}\] or \[\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(a,q)_{n}(b,q)_{n}}{(c ,q)_{n}(q ,q)_{n}}(\frac{c}{ab})^{n}=\frac{(c/a;q)_{\infty}(c/b;q)_{\infty}}{(c;q)_{\infty}(c/(ab);q)_{\infty}}\]
켤레 베일리 쌍
- q-가우스 합을 이용하여, 켤레 베일리 쌍을 찾을 수 있다
- 다음과 같은 켤레 베일리 쌍 (relative to a)을 찾을 수 있다\[\delta_n=\frac{(y)_n(z)_n x^n}{y^n z^n}\]
\(\gamma_n=\frac{(x/y;q)_{\infty}(x/z;q)_{\infty}}{(x;q)_{\infty}(x/yz;q)_{\infty}}\frac{(y)_n(z)_n x^n}{(x/y)_{n}(x/z)_{n}y^n z^n}\) 여기서 \(x=aq\). - 특별한 경우 (\(x=q,y\to\infty, z\to\infty\))\[\delta_n=q^{n^2}\]\[\gamma_n=\frac{q^{n^2}}{(q)_{\infty}}\]
- 다음과 같은 표현도 쓰인다\[\gamma_n=\prod{{x/y,x/z;q}\choose {x,x/yz;}}\frac{(y)_n(z)_n x^n}{(x/y)_{n}(x/z)_{n}y^n z^n}\]
(증명)
q-가우스 합 을 이용하자.
\(\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(a,q)_{n}(b,q)_{n}}{(c ,q)_{n}(q ,q)_{n}}(\frac{c}{ab})^{n}=\frac{(c/a;q)_{\infty}(c/b;q)_{\infty}}{(c;q)_{\infty}(c/(ab);q)_{\infty}}\)
Also note that \((a)_{n+r}=(a)_{r}(aq^{r})_{n}\) and \((a)_{\infty}=(a)_{r}(aq^{r})_{\infty}\)
\(a=yq^{r},b=zq^{r},c=xq^{2r}\)라 두자.
다음 등식을 얻는다. (*)
\(A=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(yq^{r})_{n}(zq^{r})_{n}}{(xq^{2r})_{n}(q)_{n}}(\frac{x}{yz})^{n}=\frac{(xq^{r}/y)_{\infty}(xq^{r}/z)_{\infty}}{(xq^{2r})_{\infty}(x/(yz))_{\infty}}=B\)
좌변은 다음과 같이 쓸 수 있다.
\(A=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(yq^{r})_{n}(zq^{r})_{n}}{(xq^{2r})_{n}(q)_{n}}(\frac{x}{yz})^{n}=\frac{(x)_{2r}}{(y)_{r}(z)_{r}}\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(y)_{n+r}(z)_{n+r}}{(x)_{n+2r}(q)_{n}}(\frac{x}{yz})^{n}=\frac{(x)_{2r}y^{r}z^{r}}{(y)_{r}(z)_{r}x^{r}}\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(y)_{n+r}(z)_{n+r}}{(x)_{n+2r}(q)_{n}}(\frac{x}{yz})^{n+r}\)
\(\delta_n=\frac{(y)_n(z)_n x^n}{y^n z^n}\)로 두면,
\(A=\frac{(x)_{2r}y^{r}z^{r}}{(y)_{r}(z)_{r}x^{r}}\sum_{n=0}^{\infty}\frac{\delta_{n+r}}{(x)_{n+2r}(q)_{n}}\) 로 쓸 수 있다.
(*)의 우변으로부터 다음을 얻는다.
\(B=\frac{(x/y;q)_{\infty}(x/z;q)_{\infty}}{(x;q)_{\infty}(x/yz;q)_{\infty}}}\frac{(x)_{2r}}{(x/y)_{r}(x/z)_{r}}\)
그러므로,
\(A=\frac{(x)_{2r}y^{r}z^{r}}{(y)_{r}(z)_{r}x^{r}}\sum_{n=0}^{\infty}\frac{\delta_{n+r}}{(x)_{n+2r}(q)_{n}}=\frac{(x/y;q)_{\infty}(x/z;q)_{\infty}}{(x;q)_{\infty}(x/yz;q)_{\infty}}}\frac{(x)_{2r}}{(x/y)_{r}(x/z)_{r}}=B\)
여기서 다음을 얻는다.
\(\sum_{n=0}^{\infty}\frac{\delta_{n+r}}{(x)_{n+2r}(q)_{n}}=\frac{(x/y;q)_{\infty}(x/z;q)_{\infty}}{(x;q)_{\infty}(x/yz;q)_{\infty}}}\frac{1}{(x/y)_{r}(x/z)_{r}}\frac{(y)_{r}(z)_{r}x^{r}}{y^{r}z^{r}}\)
그러므로
\(\gamma_n=\frac{(x/y;q)_{\infty}(x/z;q)_{\infty}}{(x;q)_{\infty}(x/yz;q)_{\infty}}\frac{(y)_n(z)_n x^n}{(x/y)_{n}(x/z)_{n}y^n z^n}\) 와 \(\delta_n=\frac{(y)_n(z)_n x^n}{y^n z^n}\) 는 켤레 베일리 쌍이다. ■
- 이 켤레 베일리 쌍과 어떤 베일리 쌍 \(\{\alpha_r\}, \{\beta_r\}\)에 대하여, 베일리 보조 정리를 적용하면\[\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(y)_n(z)_n x^n}{y^n z^n}\beta_{n}=\frac{(x/y;q)_{\infty}(x/z;q)_{\infty}}{(x;q)_{\infty}(x/yz;q)_{\infty}}}\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(y)_n(z)_n x^n}{(x/y)_{n}(x/z)_{n}y^n z^n}\alpha_{n}\] 를 얻는다.
역사
메모
- Math Overflow http://mathoverflow.net/search?q=
관련된 항목들
사전 형태의 자료
- http://ko.wikipedia.org/wiki/
- http://en.wikipedia.org/wiki/
- The Online Encyclopaedia of Mathematics
- NIST Digital Library of Mathematical Functions
- The World of Mathematical Equations
리뷰논문, 에세이, 강의노트
관련도서
- [GR2004] Gasper, George; Rahman, Mizan Basic hypergeometric series 2004