Q-이항계수 (가우스 다항식)
이 항목의 스프링노트 원문주소==
개요==
- 이항계수의 q-analogue
- 가우스 다항식(Gaussian polynomial)으로 불리기도 한다
- q-이항계수의 목록
양자평면==
- 세 변수 \(x,y,q\) 사이에 다음과 같은 관계를 정의
\(yx=qxy,xq=qx,yq=qy\)
- 거듭제곱의 전개
\((x+y)=x+y\)
\((x+y)^2=x^2+(1+q)xy+y^2\)
\((x+y)^3=x^3+(1+q+q^2)x^2y+(1+q+q^2)xy^2+y^3\)
\((x+y)^4=x^4+(1+q+q^2+q^3)x^3y+\left(1+q^2\right) \left(1+q+q^2\right)x^2y^2+(1+q+q^2+q^3)xy^3+y^4\)
- 여기서 등장하는 계수들을 q-이항계수로 정의하고자 한다
\(yx=qxy,xq=qx,yq=qy\)
\((x+y)=x+y\)
\((x+y)^2=x^2+(1+q)xy+y^2\)
\((x+y)^3=x^3+(1+q+q^2)x^2y+(1+q+q^2)xy^2+y^3\)
\((x+y)^4=x^4+(1+q+q^2+q^3)x^3y+\left(1+q^2\right) \left(1+q+q^2\right)x^2y^2+(1+q+q^2+q^3)xy^3+y^4\)
q-이항계수==
- 정의
\({n \choose r}_q=\frac{[n]_q!}{[r]_q![n - r]_q!}}=\frac{(q;q)_n}{(q;q)_r(q;q)_{n-r}}=\frac{(1-q)_q^n}{(1-q)_q^r (1-q)_q^{n-r}}\)
풀어쓰면 다음과 같다
\({n \choose r}_q=\frac{(1-q^n)\cdots(1-q^{n-r+1})}{(1-q^r)\cdots(1-q^{1})}\)
- 예
\({4 \choose 1}_q=1+q+q^2+q^3\)
\({4 \choose 2}_q=(1+q+q^2)(1+q^2)=1+q+2q^2+q^3+q^4\)
\({5 \choose 1}_q=1+q+q^2+q^3+q^4\)
\({5 \choose 2}_q=\left(1+q^2\right) \left(1+q+q^2+q^3+q^4\right)\)
- \(n\)이 작을 경우에 대한 q-이항계수의 목록 참조
\({n \choose r}_q=\frac{[n]_q!}{[r]_q![n - r]_q!}}=\frac{(q;q)_n}{(q;q)_r(q;q)_{n-r}}=\frac{(1-q)_q^n}{(1-q)_q^r (1-q)_q^{n-r}}\)
풀어쓰면 다음과 같다
\({n \choose r}_q=\frac{(1-q^n)\cdots(1-q^{n-r+1})}{(1-q^r)\cdots(1-q^{1})}\)
\({4 \choose 1}_q=1+q+q^2+q^3\)
\({4 \choose 2}_q=(1+q+q^2)(1+q^2)=1+q+2q^2+q^3+q^4\)
\({5 \choose 1}_q=1+q+q^2+q^3+q^4\)
\({5 \choose 2}_q=\left(1+q^2\right) \left(1+q+q^2+q^3+q^4\right)\)
점화식==
- 이항계수와 조합에서 얻은 식의 q-analogue
\({n\choose r-1}_q+q^r{n\choose r}_q={n+1\choose r}_q\)
- 예 q-이항계수의 목록 항목 참조
\({4\choose 1}_q+q^2{4\choose 2}_q={5\choose 2}_q\)
\(1+q+q^2+q^3+q^2(1+q+2q^2+q^3+q^4)=1+q+q^2+q^3+q^4+q^2(1+q+q^2+q^3+q^4)=\left(1+q^2\right) \left(1+q+q^2+q^3+q^4\right)\)
\({n\choose r-1}_q+q^r{n\choose r}_q={n+1\choose r}_q\)
\({4\choose 1}_q+q^2{4\choose 2}_q={5\choose 2}_q\)
\(1+q+q^2+q^3+q^2(1+q+2q^2+q^3+q^4)=1+q+q^2+q^3+q^4+q^2(1+q+q^2+q^3+q^4)=\left(1+q^2\right) \left(1+q+q^2+q^3+q^4\right)\)