숫자 23과 다항식 x³-x+1
Pythagoras0 (토론 | 기여)님의 2013년 4월 10일 (수) 08:56 판
개요
- \(K=\mathbb{Q}(\sqrt{-23})\)
- 판별식이 \(\Delta=b^2-4ac=-23\)이 이차형식
\[x^2+xy+6y^2, 2x^2-xy+3y^2, 2x^2+xy+3y^2\]
- \(h(\Delta)=3\) 이 되는 첫번째 예
- 판별식이 작은 경우의 이차형식 목록 참조
- class field \(x^3-x+1\)의 해 \(\alpha\)에 대하여, \(H=K(\alpha)\)로 정의
상호 법칙
- 정수론에서의 상호법칙 (reciprocity laws)
- 다항식 \(x^3-x+1 \pmod p\) 가 소수 \(p\) 에 따라 어떻게 분해되는지 혹은 몇 개의 근을 갖는지에 대한 질문
- 다음을 이용하여 답할 수 있다
\[ \begin{align} \eta(\tau)\eta(23\tau)&=q\prod_{n=1}^{\infty} (1-q^{n})(1-q^{23n})\\ {}&=q-q^2-q^3+q^6+q^8-q^{13}-q^{16}+q^{23}-q^{24}+q^{25}+q^{26}+q^{27}-q^{29}-q^{31}+q^{39}-q^{41}+\cdots \end{align} \] 여기서 \(\eta(\tau)\) 는 데데킨트 에타함수 \[\eta(\tau) = q^{1/24} \prod_{n=1}^{\infty} (1-q^{n}), \quad q=e^{2\pi i\tau}\]
singular moduli