Q-이항정리

수학노트
http://bomber0.myid.net/ (토론)님의 2009년 12월 23일 (수) 08:55 판
둘러보기로 가기 검색하러 가기
이 항목의 스프링노트 원문주소

 

 

개요
  • 이항계수와 이항정리의 q-analogue
  • 가우스 다항식(Gaussian polynomial)으로 불리기도 한다
  • q-이항정리
    \(\sum_{n=0}^{\infty} \frac{(a;q)_n}{(q;q)_n}z^n=\sum_{n=0}^{\infty} \frac{(1-a)^q_n}{(1-q)^q_n}z^n=\frac{(az;q)_{\infty}}{(z;q)_{\infty}}=\prod_{n=0}^\infty \frac {1-azq^n}{1-zq^n}, |z|<1\)
    Pochhammer 기호와 캐츠(Kac) 기호 참조
  • q-초기하급수(q-hypergeometric series)
    \(_{1}\phi_0 \left[\begin{matrix} a \\ - \end{matrix} ; q,z \right]\)\(=\sum_{n=0}^\infty \frac {(a;q)_n} {(q;q)_n} z^n\)

 

 

이항정리과 이항정리
  • 이항계수와 조합
    \((1+x)^n=\sum_{r=0}^{n} {n\choose r}x^r = {n\choose 0} + {n\choose 1}x + \cdots + {n\choose r}x^r + \cdots + {n\choose n}x^n\)
    \((1-z)^{-a}=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(a)_n}{n!}z^n=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(a)_n(1)_n}{n!(1)_n}z^n=\,_2F_1(a,1;1;z)\)

 

 

양자평면
  • 세 변수 \(x,y,q\) 사이에 다음과 같은 관계를 정의
    \(xy=qyx,xq=qx,yq=qy\)
  • 거듭제곱의 전개
    \((x+y)=x+y\)
    \((x+y)^2=x^2+(1+q)xy+y^2\)
    \((x+y)^3=x^3+(1+q+q^2)x^2y+(1+q+q^2)xy^2+y^3\)
    \((x+y)^4=x^4+(1+q+q^2+q^3)x^3y+\left(1+q^2\right) \left(1+q+q^2\right)x^2y^2+(1+q+q^2+q^3)xy^3+y^4\)
     

 

 

q-이항계수
  • 정의

\({n \choose r}_q={{[n]_q!} \over {[r]_q![n - r]_q!}}=\frac{(q;q)_n}{(q;q)_r(q;q)_{n-r}}=\frac{(1-q)_q^n}{(1-q)_q^r (1-q)_q^{n-r}}\)

  • 예
    \({4 \choose 2}_q=(1+q+q^2)(1+q^2)=1+q+2q^2+q^3+q^4\)
    \({5 \choose 1}_q=1+q+q^2+q^3+q^4\)
    \({5 \choose 2}_q=\left(1+q^2\right) \left(1+q+q^2+q^3+q^4\right)\)
  • q-이항계수의 목록

 

 

q-이항정리[[search?q=유한곱&parent id=4783755|]]
  • 유한곱에 대한 q-이항정리
    \(\prod_{r=1}^{n}(1+zq^r)=(1+zq)(1+zq^2)\cdots(1+zq^n)= \sum_{r=0}^{n} {n \choose r}_q q^{r(r+1)/2}z^r\)
    또는
    \(\prod_{r=0}^{n-1}(1+zq^r)=(1+z)(1+zq)\cdots(1+zq^{n-1})= \sum_{r=0}^{n} {n \choose r}_q q^{r(r-1)/2}z^r\)
  • Pochhammer 기호와 캐츠(Kac) 기호를 사용한 표현
    \((1+z)_q^n=(-z;q)_n=(1+z)(1+zq)\cdots(1+zq^{n-1})= \sum_{r=0}^{n} {n \choose r}_q q^{r(r-1)/2}z^r\)

 

 

재미있는 사실

 

 

 

역사

 

 

메모

 

 

관련된 항목들

 

수학용어번역

 

 

사전 형태의 자료

 

 

관련논문

 

관련도서 및 추천도서

 

 

관련기사

 

 

블로그
원본 주소 "https://wiki.mathnt.net/index.php?title=Q-이항정리&oldid=2759"