로바체프스키 함수

개요

다이로그 함수(dilogarithm )의 변종으로 이해할 수 있다
로바체프스키 함수의 정의\[\Lambda(\theta)=-\int_0^{\theta} \ln |2\sin t| \,dt=\frac{1}{2}\sum_{n=1}^{\infty}\frac{\sin (2n\theta)}{n^2}\] 로바체프스키 함수는 쌍곡기하학의 연구에서 등장하였으며, 3차원 쌍곡다양체의 부피를 표현하는데 유용하다
클라우센 함수(Clausen function) 와의 관계\[Cl_2(2\theta)=2\Lambda(\theta)\]

dilogarithm 함수와의 관계

dilogarithm 함수는 복소수 $|z|<1$에 대하여 다음과 같이 정의됨
$\operatorname{Li}_2(z)= \sum_{n=1}^\infty {z^n \over n^2}$\[|z|\leq 1\] 에서 고르게 수렴하는 급수이므로, $|z|\leq 1$에서 연속
$z=e^{2i\theta}$, $0 \leq \theta \leq \pi$ 일 때, \[\operatorname{Li}_2(e^{2i\theta})= \sum_{n=1}^\infty \frac{e^{2in\theta}}{n^2}=\sum_{n=1}^\infty \frac{\cos 2n\theta}{n^2}+i\sum_{n=1}^\infty \frac{\sin 2n\theta}{n^2}\]
따라서 $0 \leq \theta \leq \pi$ 일 때, \[\mathfrak{I}(\operatorname{Li}_2(e^{2i\theta}))=\sum_{n=1}^\infty \frac{\sin 2n\theta}{n^2}=2\Lambda(\theta)\]

그래프

$\Lambda(\theta)$는 기함수이고, $\pi$ 를 주기로 가짐

$\theta=\pi/6+n\pi$일 때 최대값을 가진다

멱급수 전개

$0 < \theta <\pi$ 일 때,

$\Lambda(\theta)=\theta-\theta \log(2\theta)+2\theta\sum_{n=1}^{\infty}\frac{|B_{2n}|}{2n}\frac{(2\theta)^{2n}}{(2n+1)!}$

$B_{2n}$은 베르누이 수

덧셈공식

정리 $\Lambda(n\theta)=n\sum_{k=0}^{n-1}\Lambda(\theta+\frac{k\pi}{n})$
(증명)

$2\sin n\theta =\prod_{k=0}^{n-1}2\sin(\theta+\frac{k\pi}{n})$

절대값에 로그를 취하여 양변을 적분하면, 적당한 상수 C에 대하여,

$\frac{1}{n}\Lambda(n\theta)=\sum_{k=0}^{n-1}\Lambda(\theta+\frac{k\pi}{n})+C$

를 얻는다.

$n=2$ 일때,

$\frac{1}{2}\Lambda(2\theta)=\Lambda(\theta)+\Lambda(\theta+\frac{\pi}{2})+C$

$\theta=\frac{\pi}{2}$ 이면,

$\frac{1}{2}\Lambda(\pi)=\Lambda(\frac{\pi}{2})+\Lambda(\pi)+C$

$\theta=0$ 이면,

$\frac{1}{2}\Lambda(0)=\Lambda(0)+\Lambda(\frac{\pi}{2})+C$

두 식으로부터

$\Lambda(\pi)=\Lambda(0)$을 얻는다.

한편, $\Lambda'(\theta)=- \ln |2\sin t|$ 는 $\pi$ 를 주기로 가지므로, $\Lambda(\theta)$ 역시 $\pi$를 주기로 갖는 함수가 된다.

$\frac{1}{n}\Lambda(n\theta)=\sum_{k=0}^{n-1}\Lambda(\theta+\frac{k\pi}{n})+C$ 에서 기함수의 성질을 이용하면, $C=0$이 된다.

3차원 쌍곡기하학과의 관계

이면각이 $\alpha, \beta, \gamma$로 주어진 ideal tetrahedron $T$에 대하여, 다음이 성립
- $\alpha+\beta+\gamma=\pi$
- $\operatorname{Vol}(T)=\Lambda(\alpha)+\Lambda(\beta)+\Lambda(\gamma)$
이면각 (dihedral angles) 한 점에서 만나는 세 면이 각각 이루는 각

special values

$2\Lambda(\frac{\pi}{6})=Cl_2(\frac{\pi}{3})$ http://mathworld.wolfram.com/GiesekingsConstant.html
$6\Lambda(\frac{\pi}{3})=2.0298832128193072500\cdots$ 는 figure-eight 매듭 K에 의해 정의되는 3차원 쌍곡다양체 $S^3-K$의 부피이다

역사

수학사 연표

메모

매스매티카 파일 및 계산 리소스

https://docs.google.com/leaf?id=0B8XXo8Tve1cxMWQ5NGY3YWEtYTQ3MC00YzE5LTgwOWYtZmYxMDc1NzcwOGM1&sort=name&layout=list&num=50

로바체프스키 함수

목차

개요

dilogarithm 함수와의 관계

그래프

멱급수 전개

덧셈공식

3차원 쌍곡기하학과의 관계

special values

역사

메모

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