대칭다항식

개요

• n 변수의 다항식 \(f(x_1,x_2,\cdots,x_n)\) 이 \(x_1,x_2,\cdots,x_n\) 의 모든 permutation에 의해서 불변일 때, 대칭다항식이라 한다 ( 대칭군 (symmetric group) )
• 다항식 \(f(x_1,x_2,\cdots,x_n)\) 이 \(x_1,x_2,\cdots,x_n\) 중에서 두 변수를 바꾸는 permutation 즉 transposition 에 의해 부호가 바뀔 때, 이를 교대다항식(alternating polynomial)이라 한다

 

 

대칭다항식의 예

• 세 변수의 경우
• \(x_1+x_2+x_3\)
• \(x_1 x_2+x_1 x_3+x_2 x_3\)
• \(x_1 x_2 x_3\)

 

 

well-known bases

• M : 단항 대칭 다항식 (monomial symmetric polynomial)
• E : 초등 대칭 다항식 (elementary symmetric polynomial)
• H : 완전 동차 대칭 다항식 (complete homogeneous symmetric polynomial)
• S : 슈르 다항식(Schur polynomials)

• algebraic independence result (Ruffini, around 1800)

• 거듭제곱의 합 power sums
  • A. Girard
  • Waring
  • 근과 계수에 관한 뉴턴-지라드 항등식

 

(정리)

$E(-x)P(x)=x E'(-x)$

where

$P(x)=\sum_{i\geq 1} x_i^{n}x^n$

$E(x)=x^{n}-e_1 x^{n-1}+e_2 x^{n-2}+\cdots$

$H(x)=\prod_{i}\frac{1}{1-x x_i}$

역사

 

• http://www.google.com/search?hl=en&tbs=tl:1&q=
• 수학사 연표

 

 

메모

 

• Math Overflow http://mathoverflow.net/search?q=

 

 

관련된 항목들

• 대칭군 (symmetric group)
• 대칭군의 character에 대한 프로베니우스 공식
• 근과 계수에 관한 뉴턴-지라드 항등식
• 반데몬드 행렬과 행렬식 (Vandermonde matrix)
• 교대다항식(alternating polynomial)
• 코쉬 행렬과 행렬식

 

 

사전 형태의 자료

• http://en.wikipedia.org/wiki/Schur_polynomial

 

리뷰논문, 에세이, 강의노트

• Alain Lascoux, Symmetric functions
• J. Dieudonné, Schur functions and group representations , Young tableaux and Schur functors in algebra and geometry, Astéerisque, 87--88 , 7--19 (1981)

관련도서

• Lascoux, Alain. 2003. Symmetric Functions and Combinatorial Operators on Polynomials. American Mathematical Soc.
• I. G.Macdonald, Symmetric functions and Hall polynomials, Clarendon Press, second edition, Oxford, 1995.