Q-이항계수 (가우스 다항식)

개요

세 변수 \(x,y,q\) 사이에 다음과 같은 관계를 정의\[yx=qxy,xq=qx,yq=qy\]
거듭제곱의 전개\[(x+y)=x+y\]\[(x+y)^2=x^2+(1+q)xy+y^2\]\[(x+y)^3=x^3+(1+q+q^2)x^2y+(1+q+q^2)xy^2+y^3\]\[(x+y)^4=x^4+(1+q+q^2+q^3)x^3y+\left(1+q^2\right) \left(1+q+q^2\right)x^2y^2+(1+q+q^2+q^3)xy^3+y^4\]
여기서 등장하는 계수들을 q-이항계수로 정의하고자 한다
양자 바일 대수와 양자평면 항목 참조

정의 \[{n \choose r}_q=\frac{[n]_q!}{[r]_q![n - r]_q!}=\frac{(q;q)_n}{(q;q)_r(q;q)_{n-r}}=\frac{(1-q)_q^n}{(1-q)_q^r (1-q)_q^{n-r}}\] 풀어쓰면 다음과 같다 \[{n \choose r}_q=\frac{(1-q^n)\cdots(1-q^{n-r+1})}{(1-q^r)\cdots(1-q^{1})}\]
예 \[{4 \choose 1}_q=1+q+q^2+q^3\]\[{4 \choose 2}_q=(1+q+q^2)(1+q^2)=1+q+2q^2+q^3+q^4\]\[{5 \choose 1}_q=1+q+q^2+q^3+q^4\]\[{5 \choose 2}_q=\left(1+q^2\right) \left(1+q+q^2+q^3+q^4\right)\]
\(n\)이 작은 경우에 대한 q-이항계수의 목록 참조

이항계수와 조합에서 얻은 식의 q-analogue\[{n\choose r-1}_q+q^r{n\choose r}_q={n+1\choose r}_q\]
예 q-이항계수의 목록 항목 참조\[{4\choose 1}_q+q^2{4\choose 2}_q={5\choose 2}_q\]\[1+q+q^2+q^3+q^2(1+q+2q^2+q^3+q^4)=1+q+q^2+q^3+q^4+q^2(1+q+q^2+q^3+q^4)=\left(1+q^2\right) \left(1+q+q^2+q^3+q^4\right)\]