4차 상호법칙
개요
- 4차의 정수계수 다항식 \(f(x)\)를 \(\pmod p\)로 분해할 때 나타나는 현상의 이해
4차 상호법칙
거듭제곱 잉여 부호
- 거듭제곱 잉여 부호와 상호법칙 항목 참조
용어와 기호
- $i=\sqrt{-1}$
- $\alpha\in \mathbb{Z}[i]$가 $\alpha\equiv \pm 1 \bmod 2+2i$이면, $\alpha$를 primary라고 부른다
- 이는 $\alpha=a+bi, a + b \equiv a − b \equiv 1 \pmod 4$와 동치
상호법칙
- 정리
- $\alpha,\beta\in \mathbb{Z}[i]$가 서로소이고 primary라 하자.
\[\Bigg(\frac{\alpha}{\beta}\Bigg)_4 \Bigg(\frac{\beta}{\alpha}\Bigg)_4^{-1}=(-1)^{\frac{N\alpha-1}{4}\frac{N\beta-1}{4}}. \] 다음과 같은 보조 법칙이 성립한다 \[ \Bigg(\frac{i}{\alpha}\Bigg)_4 = i^\frac{1-a}{4},\;\;\; \Bigg(\frac{1+i}{\alpha}\Bigg)_4 = i^\frac{a-b-b^2-1}{4},\;\;\; \Bigg(\frac{2}{\alpha}\Bigg)_4 = i^\frac{b}{2}. \]
테이블
- 다음 표의 $\{a,b\}$는 $\mathbb{Z}[i]$의 원소 $a+bi$를 나타냄
- 빈 칸은 잉여 부호가 정의되지 않음을 의미
- 서로 소인 소 아이디얼 $x,y$에 대한 $\left(\frac{y}{x}\right)_4$의 값
$$ \begin{array}{c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c} x\ddots y & \{-3,0\} & \{-1,-2\} & \{-1,2\} & \{-7,0\} & \{-11,0\} & \{3,-2\} & \{3,2\} & \{1,-4\} & \{1,4\} & \{-19,0\} \\ \hline \{-3,0\} & & i & -i & 1 & 1 & -1 & -1 & i & -i & 1 \\ \hline \{-1,-2\} & i & & & -i & -1 & 1 & -i & -i & -1 & 1 \\ \hline \{-1,2\} & -i & & & i & -1 & i & 1 & -1 & i & 1 \\ \hline \{-7,0\} & 1 & -i & i & & 1 & i & -i & -i & i & 1 \\ \hline \{-11,0\} & 1 & -1 & -1 & 1 & & i & -i & -i & i & 1 \\ \hline \{3,-2\} & -1 & -1 & -i & i & i & & & -i & -i & -i \\ \hline \{3,2\} & -1 & i & -1 & -i & -i & & & i & i & i \\ \hline \{1,-4\} & i & -i & -1 & -i & -i & -i & i & & & -1 \\ \hline \{1,4\} & -i & -1 & i & i & i & -i & i & & & -1 \\ \hline \{-19,0\} & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & -i & i & -1 & -1 & \end{array} $$
관련된 항목들