근과 계수에 관한 뉴턴-지라드 항등식

개요

다항방정식의 근의 거듭제곱의 합과, 다항식의 계수의 관계
뉴턴-지라드 항등식은 $i$-차 거듭제곱으로 주어지는 대칭다항식과 $i$-차 초등 대칭 다항식 (elementary symmetric polynomial)의 관계를 표현
다항식의 판별식(discriminant) 을 구하는데 사용할 수 있다

예

뉴턴-지라드 항등식은 아래와 같은 종류의 식을 고차로 일반화한다

2차방정식의 경우

2차방정식의 두 근이 $x_1,x_2$로 주어진다고 할 때, 이들의 거듭제곱은 다음 식을 만족시킨다\[\begin{array}{lll} x_1+x_2 & = & x_1+x_2 \\ x_1^2+x_2^2 & = & \left(x_1+x_2\right){}^2-2 x_1 x_2 \\ x_1^3+x_2^3 & = & \left(x_1+x_2\right){}^3-3 x_1 x_2 \left(x_1+x_2\right) \\ x_1^4+x_2^4 & = & \left(x_1+x_2\right){}^4-4 x_1 x_2 \left(x_1+x_2\right){}^2+2 x_1^2 x_2^2 \\ x_1^5+x_2^5 & = & \left(x_1+x_2\right){}^5-5 x_1 x_2 \left(x_1+x_2\right){}^3+5 x_1^2 x_2^2 \left(x_1+x_2\right) \end{array}\]
우변에 있는 식은 근과 계수와의 관계 다항식의 계수로 표현할 수 있다

3차방정식의 경우

3차방정식의 두 근이 $x_1,x_2,x_3$로 주어진다고 하자. 이들의 거듭제곱은 다음 식을 만족시킨다\[\begin{array}{lll} x_1+x_2+x_3 & = & x_1+x_2+x_3 \\ x_1^2+x_2^2+x_3^2 & = & \left(x_1+x_2+x_3\right){}^2-2 \left(x_1 x_2+x_3 x_2+x_1 x_3\right) \\ x_1^3+x_2^3+x_3^3 & = & \left(x_1+x_2+x_3\right){}^3-3 \left(x_1 x_2+x_3 x_2+x_1 x_3\right) \left(x_1+x_2+x_3\right)+3 x_1 x_2 x_3 \\ x_1^4+x_2^4+x_3^4 & = & \left(x_1+x_2+x_3\right){}^4-4 \left(x_1 x_2+x_3 x_2+x_1 x_3\right) \left(x_1+x_2+x_3\right){}^2+4 x_1 x_2 x_3 \left(x_1+x_2+x_3\right)+2 \left(x_1 x_2+x_3 x_2+x_1 x_3\right){}^2 \end{array}\]

뉴턴-지라드 항등식

$\sigma_i$ 를 $i$-차 거듭제곱의 합, $\Pi_i$ 를 $i$-차 초등 대칭 다항식 (elementary symmetric polynomial)이라 두자
초등대칭다항식과 거듭제곱의 합 사이에 성립하는 다음 항등식을 뉴턴-지라드 항등식이라 한다

정리

\[\begin{array}{l} \sigma _1-\Pi _1=0 \\ 2 \Pi _2-\Pi _1 \sigma _1+\sigma _2=0 \\ -3 \Pi _3+\Pi _2 \sigma _1-\Pi _1 \sigma _2+\sigma _3=0 \\ 4 \Pi _4-\Pi _3 \sigma _1+\Pi _2 \sigma _2-\Pi _1 \sigma _3+\sigma _4=0 \\ -5 \Pi _5+\Pi _4 \sigma _1-\Pi _3 \sigma _2+\Pi _2 \sigma _3-\Pi _1 \sigma _4+\sigma _5=0 \\ 6 \Pi _6-\Pi _5 \sigma _1+\Pi _4 \sigma _2-\Pi _3 \sigma _3+\Pi _2 \sigma _4-\Pi _1 \sigma _5+\sigma _6=0 \\ -7 \Pi _7+\Pi _6 \sigma _1-\Pi _5 \sigma _2+\Pi _4 \sigma _3-\Pi _3 \sigma _4+\Pi _2 \sigma _5-\Pi _1 \sigma _6+\sigma _7=0 \end{array} \]

거듭제곱 대칭 다항식을 초등 대칭 다항식으로 표현하기

$\sigma_i$를 $\Pi_i$를 이용하여 표현할 수 있다

\[\begin{array}{l} \sigma _1=\Pi _1 \\ \sigma _2=\Pi _1^2-2 \Pi _2 \\ \sigma _3=\Pi _1^3-3 \Pi _1 \Pi _2+3 \Pi _3 \\ \sigma _4=\Pi _1^4-4 \Pi _1^2 \Pi _2+2 \Pi _2^2+4 \Pi _1 \Pi _3-4 \Pi _4 \\ \sigma _5=\Pi _1^5-5 \Pi _1^3 \Pi _2+5 \Pi _1 \Pi _2^2+5 \Pi _1^2 \Pi _3-5 \Pi _2 \Pi _3-5 \Pi _1 \Pi _4+5 \Pi _5 \end{array}\]

초등 대칭 다항식을 거듭제곱 대칭 다항식으로 표현하기

$\Pi_i$를 $\sigma_i$를 이용하여 표현할 수 있다

\[\begin{array}{l} \Pi _1=\sigma _1 \\ \Pi _2=\frac{1}{2} \left(\sigma _1^2-\sigma _2\right) \\ \Pi _3=\frac{1}{6} \left(\sigma _1^3-3 \sigma _1 \sigma _2+2 \sigma _3\right) \\ \Pi _4=\frac{1}{24} \left(\sigma _1^4-6 \sigma _1^2 \sigma _2+3 \sigma _2^2+8 \sigma _1 \sigma _3-6 \sigma _4\right) \end{array}\]

매스매티카 파일 및 계산 리소스

https://docs.google.com/file/d/0B8XXo8Tve1cxYWt0MG5GaGJzMnM/edit

사전형태의 자료

http://en.wikipedia.org/wiki/Newton's_identities