유한체 (finite field)

개요

• 크기가 $q=p^r$인 체 $\mathbb{F}_q$
• 갈루아 체라고 불리기도 함
• 유한체 \(\mathbb{F}_{q}\) 는 방정식 \(x^{q}-x=x(x^{q-1}-1)=0\) 의 근으로 구성
• $\mathbb{F}_{q}^{\times}$는 순환군

예

• $(\mathbb{F}_7,+,\cdot)$
• 덧셈표

$$ \begin{array}{c|ccccccc} + & 0 & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 \\ \hline 0 & 0 & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 \\ 1 & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & 0 \\ 2 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & 0 & 1 \\ 3 & 3 & 4 & 5 & 6 & 0 & 1 & 2 \\ 4 & 4 & 5 & 6 & 0 & 1 & 2 & 3 \\ 5 & 5 & 6 & 0 & 1 & 2 & 3 & 4 \\ 6 & 6 & 0 & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 \\ \end{array} $$

• 곱셈표

$$ \begin{array}{c|ccccccc} \cdot & 0 & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 \\ \hline 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 \\ 2 & 0 & 2 & 4 & 6 & 1 & 3 & 5 \\ 3 & 0 & 3 & 6 & 2 & 5 & 1 & 4 \\ 4 & 0 & 4 & 1 & 5 & 2 & 6 & 3 \\ 5 & 0 & 5 & 3 & 1 & 6 & 4 & 2 \\ 6 & 0 & 6 & 5 & 4 & 3 & 2 & 1 \\ \end{array} $$

관련된 항목들

• 정수론에서의 상호법칙 (reciprocity laws)
• 코딩이론
• 유한체에서 정수계수 다항식의 분해(코드)

매스매티카 파일 및 계산 리소스

• http://reference.wolfram.com/mathematica/FiniteFields/guide/FiniteFieldsPackage.html

리뷰논문, 에세이, 강의노트

• Lüneburg, Heinz. 2001. “On the Early History of Galois Fields.” In Finite Fields and Applications (Augsburg, 1999), 341–355. Berlin: Springer. http://link.springer.com/chapter/10.1007%2F978-3-642-56755-1_27