스미스-민코프스키-지겔 질량 공식

개요

• 주어진 양의 정부호 이차형식 $q$에 대하여 방정식 $q(x)=n$의 해의 개수 $r(q,n)$를 구하는 것은 정수론의 오래된 문제
• 지겔의 질량 공식은 $q$와 같은 genus에 속하는 이차형식 $q'$들에 대한 $r(q',n)$값의 가중치평균(weighted average)을 모든 소수에 대한 local densities의 곱으로 표현함
• local densities : measure the number of congruence solutions of the equation modulo high powers of the respective prime.

스미스-민코프스키-지겔 질량 공식

• $n\geq 2$ 자연수
• $L$ : 양의 정부호인 $n$ 차원 정수계수 이차형식
• $\rm{Aut}(L)$ : 자기동형군
• ${\rm gen}(L)$ : $L$과 같은 genus에 속하는 이차형식의 동치류
• $f$의 질량 $m(f)$를 다음과 같이 정의

$$ m(f):=\sum_{M\in {\rm gen}(L)}\frac{1}{|{\rm Aut}(M)|} $$

정리 (스미스-민코프스키-지겔)

다음이 성립한다 \[m(f) = 2\pi^{-n(n+1)/4}\prod_{j=1}^n\Gamma(j/2)\prod_{p\text{ prime}}2m_p(f)\] 여기서 \[m_p(f) = {p^{(rn(n-1)+s(n+1))/2}\over N(p^r)}\]

예

• n차원 even unimodular 격자의 경우의 질량 공식은 다음과 같이 표현된다

\[\sum_{\Lambda}{1\over|\operatorname{Aut}(\Lambda)|} = {|B_{n/2}|\over n}\prod_{1\le j< n/2}{|B_{2j}|\over 4j}\label{evenu} \]

여기서 $B_k$는 베르누이 수

8차원

• 8차원 even unimodular 격자는 E8격자 뿐이이며 질량 공식 \ref{evenu}의 우변은 다음과 같다

$$ \frac{1}{696729600} $$

• 696729600은 E8격자의 자기동형군의 크기이며, 바일군 $W(E_8)$의 크기이기도 하다

16차원

• 16차원에서 \ref{evenu}의 우변은 다음과 같다

$$\frac{691}{277667181515243520000}$$

지겔-베유 공식

• 지겔-베유 공식은 지겔의 결과(1951, 1952)에 대한 베유의 확장(1964, 1965)
• 같은 genus에 속하는 격자의 세타함수에 대한 가중치평균을 아이젠슈타인 급수로 표현함
• 스미스-민코프스키-지겔 질량 공식은 이 공식의 상수항에 해당

메모

• Mackey - Unitary Group Representation in Physics, Probability and Number Theory, page 326
• Katsurada, Hidenori. "An explicit formula for the Fourier coefficients of Siegel-Eisenstein series of degree $3$." Nagoya Mathematical Journal 146 (1997): 199-223.
• Katsurada, Hidenori. "An explicit formula for Siegel series." American journal of mathematics (1999): 415-452.

관련된 항목들

• 24차원 짝수 자기쌍대 격자

매스매티카 파일 및 계산 리소스

• https://docs.google.com/file/d/0B8XXo8Tve1cxWGUybjFwNkw5dVE/edit
• http://math.berkeley.edu/~reb/papers/siegel/

사전 형태의 자료

• http://en.wikipedia.org/wiki/Smith–Minkowski–Siegel_mass_formula
• http://en.wikipedia.org/wiki/Siegel–Weil_formula
• http://en.wikipedia.org/wiki/Weil_conjecture_on_Tamagawa_numbers

질문과 답변

• http://mathoverflow.net/questions/163357/eisenstein-part-of-the-theta-function
• http://mathoverflow.net/questions/60355/relation-between-theta-series-and-eisensteinseries
• http://mathoverflow.net/questions/111519/why-might-andr%C3%A9-weil-have-named-carl-ludwig-siegel-the-greatest-mathematician-of

리뷰, 에세이, 강의노트

• Proof of a simple case of the Siegel-Weil formula
• Siegel's integral
• Haruzo Hida, Siegel-Weil Formulas, 2007
• Kimball Martin, lecture notes for number theory
  • chapter 7. Quadratic Forms

관련논문

• Shimura, Goro. “The Number of Representations of an Integer by a Quadratic Form.” Duke Mathematical Journal 100, no. 1 (1999): 59–92. doi:10.1215/S0012-7094-99-10002-0.
• Yang, Tonghai. “An Explicit Formula for Local Densities of Quadratic Forms.” Journal of Number Theory 72, no. 2 (1998): 309–56. doi:10.1006/jnth.1998.2258.
• Walling, Lynne H. “Explicit Siegel Theory: An Algebraic Approach.” Duke Mathematical Journal 89, no. 1 (1997): 37–74. doi:10.1215/S0012-7094-97-08903-1.
• Conway, J. H., and N. J. A. Sloane. “Low-Dimensional Lattices. IV. The Mass Formula.” Proceedings of the Royal Society of London. A. Mathematical and Physical Sciences 419, no. 1857 (October 8, 1988): 259–86. doi:10.1098/rspa.1988.0107.
• Weil, André. “Sur la formule de Siegel dans la théorie des groupes classiques.” Acta Mathematica 113, no. 1 (July 1, 1965): 1–87. doi:10.1007/BF02391774.
• Weil, André. “Sur certains groupes d’opérateurs unitaires.” Acta Mathematica 111, no. 1 (July 1, 1964): 143–211. doi:10.1007/BF02391012.