프로이덴탈 중복도 공식 (Freudenthal multiplicity formula)
개요
- 유한차원 단순리대수 $\mathfrak{g}$의 유한차원표현 \(V\)에 대하여, $V_{\lambda}$를 weight $\lambda \in P$에 대응되는 $V$의 weight space라 하자
- 정리 (프로이덴탈)
$\Lambda$를 highest weight으로 갖는 유한차원 기약표현 $V=L(\Lambda)$에 대하여 $m_{\lambda}:=\dim{V_{\lambda}}$는 다음을 만족한다 $$ (||\Lambda+\rho||^2-||\lambda+\rho||^2)m_{\lambda}=2\sum_{\alpha\in \Delta_{+}}\sum_{j\geq 1}(\lambda+j\alpha,\alpha)m_{\lambda+j\alpha} $$ 여기서 $(\cdot,\cdot)$은 $\mathfrak{g}$의 킬링 형식
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관련논문
- Bremner, Murray R. “Fast Computation of Weight Multiplicities.” Journal of Symbolic Computation 2, no. 4 (December 1986): 357–62. doi:10.1016/S0747-7171(86)80003-7.