가우스의 class number one 문제

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• 가우스의 class number one 문제

 

 

개요

• 복소 이차 수체 \(\mathbb{Q}(\sqrt{-d})\) 가 class number 1인 경우 즉 그 정수집합이 UFD가 되는 경우는 다음 9가지가 있음.
  
  • \(d=1,2,3,7,11,19,43,67,163\)

 

 

 

step 0

• reduce to \(d=p\equiv 3 \pmod 8\)
  
  • \(d\equiv 1,2 \pmod 4\) => \(d=1,2\)
  • \(d\equiv 7 \pmod 8\) => \(d=7\)

 

 

 

역사

• 가우스가 정수계수 이변수 이차형식(binary integral quadratic forms)을 연구하며 위의 결과를 추측
• 1952년 히그너에 의해 증명이 얻어지나 옳은 것으로 인정받지 못함
• 1966-67년 스타크와 베이커에 의해 증명됨
  
  • 스타크는 히그너의 증명은 본질적으로 옳았음을 주장

• http://www.google.com/search?hl=en&tbs=tl:1&q=
• 수학사연표

 

 

관련된 학부 과목과 미리 알고 있으면 좋은 것들

• 초등정수론
• 추상대수학

 

 

 

관련된 항목들

• 이차 수체(quadratic number fields) 의 정수론
• 수체의 class number
• 이차 수체에 대한 디리클레 class number 공식
• 정수계수 이변수 이차형식(binary integral quadratic forms)
• 판별식이 작은 경우의 이차형식 목록
• 오일러의 소수생성다항식
• 숫자 163

 

 

관련도서

• Primes of the Form x2 + ny2 : Fermat, Class Field Theory, and Complex Multiplication 
  
  • David A. Cox
• The book of numbers
  
  • J. Conway and R. Guy
  • 224-226p, Nine Magic Discriminant (pdf)

 

 

사전형태의 참고자료

• http://en.wikipedia.org/wiki/Class_number_one_problem
• http://en.wikipedia.org/wiki/Heegner_number

 

 

관련논문과 에세이

• Gauss' class number problem for imaginary quadratic fields
  
  • Dorian Goldfeld, Source: Bull. Amer. Math. Soc. (N.S.) Volume 13, Number 1 (1985), 23-37
• Heegner Points: The Beginnings
  
  • Birch, from Heegner Points and Rankin L-Series(edited by Henri Darmon and Shou-Wu Zhang)
• The Class Number Problem
  
  • Roy W. Ryden, The American Mathematical Monthly, Vol. 86, No. 3 (Mar., 1979), pp. 200-202
• The class number of quadratic fields and the conjectures of Birch and Swinnerton-Dyer
  
  • Goldfeld, Dorian, Ann. Scuola Norm. Sup. Pisa Cl. Sci. (4) 3 (1976), no. 4
• Class-Numbers of Complex Quadratic Fields
  
  • H. M. Stark, from Modular Functions of One Variable I, 1973
• On the class number of imaginary quadratic fields
  
  • A. Baker, Bull. Amer. Math. Soc. Volume 77, Number 5 (1971), 678-684.
• There is no Tenth Complex Quadratic Field with Class-Number One
  
  • H. M. Stark, Proc Natl Acad Sci U S A. 1967 February; 57(2): 216–221
• On the imaginary quadratic corpora of class number one
  
  • H. Heilbronn and E. H. Linfoot, Quart. J. Math. Oxford Ser 2 5 (1934), 293-301