가우스의 class number one 문제

복소 이차 수체 \(\mathbb{Q}(\sqrt{-d})\) 가 class number 1인 경우 즉 그 정수집합이 UFD가 되는 경우는 다음 9가지가 있음.
- \(d=1,2,3,7,11,19,43,67,163\)

\(\mathfrak{f}(\tau)=\frac{e^{-\frac{\pi i}{24}}\eta(\frac{\tau+1}{2})}{\eta(\tau)}=q^{-1/48} \prod_{n=1}^{\infty} (1+q^{n-\frac{1}{2}})\)

\(\mathfrak{f}_1(\tau)=\frac{\eta(\frac{\tau}{2})}{\eta(\tau)}=q^{-1/48} \prod_{n=1}^{\infty} (1-q^{n-\frac{1}{2}})\)

\(\mathfrak{f}_2(\tau)=\sqrt{2}\frac{\eta(2\tau)}{\eta(\tau)}=\sqrt{2}q^{1/24} \prod_{n=1}^{\infty} (1+q^{n})\)

\(\gamma_2(\tau)=\sqrt[3]{j(\tau)}\)

\(\gamma_2(\tau)=\frac{\mathfrak{f}_2(\tau)^{24}+16}{\mathfrak{f}_2(\tau)^8}=\sqrt[3]{j(\tau)}\)

\(x^{24}-\gamma_2(\tau)x^8-16=0\)

\(d=p\equiv 3 \pmod 8\)
\(\mathfrak{f}(\sqrt{-p})^2\in\mathbb{Q}(j(\sqrt{-p}))\) generates a cubic extension of \(\mathbb{Q}\).
\(\tau_{0}=(3+\sqrt{-p})/2\)
\(\alpha=\zeta_{8}\mathfrak{f}_2(\tau_0)^2\) 로 두면, \(\alpha^4=-\mathfrak{f}_2(\tau_0)^8\)는 \(x^{3}-\gamma_2(\tau_0)x-16=0\) 의 해이다
한편 \(\alpha=2/\mathfrak{f}(\sqrt{-p})^2\) 이므로, 3차 정수 계수 다항식 \(x^3+ax^2+bx+c=0\) 의 해이다

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